Element w kombinacji

romen · Post autor: **romen** » 14 lis 2010, o 00:00

Witam! Czy jest jakiś wzór na obliczenie ile razy dany element wystąpił w kombinacji np. liczby 1,2,3,4,5 - wybieramy 3 co daj 10 kombinacji. Każda liczba np 5 występuje w 6 kombinacjach.
pzdr

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 14 lis 2010, o 07:52

Wystarczy obliczyć ile jest kombinacji k-elementowych ze zbioru (n-1) elementowego i odjąć od wszystkich możliwych, czyli np. w powyższym przypadku:

\(\displaystyle{ {5 \choose 3} - {4 \choose 3} =...}\)

A ogólnie:

\(\displaystyle{ {n \choose k} - {n-1 \choose k}}\)

romen · Post autor: **romen** » 14 lis 2010, o 15:08

Dzięki przydało się. Mam jeszcze 1 pytanko czy jest jakiś sposób na określenie w ilu kombinacjach występują określone pary liczb np 1,2,3,4,5 - w ilu kombinacjach występuje para 1,3?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 14 lis 2010, o 16:03

Wszystkie takie warianty liczysz jako kombinacje z "narzuconymi warunkami"
Np. w podanym przykładzie liczysz tak jakbyś liczył moc zbioru zdarzenia: przy losowaniu trzech liczb wylosowano 1 i 3.

Czyli 1 i 3 muszą być w wylosowanym zestawie, a trzecia liczba musi być wylosowana ze zbioru {2;4;5}, czyli są trzy takie możliwości (formalnie możemy to zapisać jako \(\displaystyle{ {3 \choose 1}}\).

Podobnie możemy także policzyć wcześniejszy przykład tzn. 5 musi być wśród tych trzech wylosowanych, a pozostałe dwie muszą być wylosowane ze zbioru {1;2;3;4}, czyli takich możliwości jest \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\). Nawet jest to prostsze (rachunkowo) niż poprzedni sposób, bo masz:

\(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1}}\)