Ile spośród wszystkich prostokątów, które można utworzyć na kracie n × n, jest kwadratami?
Wiem, że wszystkich prostokątów można na kracie n x n utworzyć \(\displaystyle{ {n + 1 \choose 2}^2}\)
tylko nie mam pomysłu, jak od tego odjąć liczbę prostokątów, które nie są kwadratami lub bezpośrednio jak obliczyć ilość samych kwadratów?
Jedyne co mi przychodzi do głowy to, że różnica numerów lini w kracie musi być sobie równa (aby prostokąt był kwadratem), czyli \(\displaystyle{ x_{2} - x_{1} = y_{2} - y_{1}}\), gdzie x i y to numery lini na kracie (takich numerów jest n + 1 - od 0 do n).
Ile spośród wszystkich prostokątów na kracie jest kwadratami
Ile spośród wszystkich prostokątów na kracie jest kwadratami
Kwadratów o boku 1 jest \(\displaystyle{ n^2}\). Kwadratów o boku 2 jest \(\displaystyle{ (n-1)^2}\). ... Jest jeden kwadrat o boku \(\displaystyle{ n}\). W sumie
\(\displaystyle{ n^2+(n-1)^2+..+1^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)
\(\displaystyle{ n^2+(n-1)^2+..+1^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)
Ile spośród wszystkich prostokątów na kracie jest kwadratami
A jest jakiś konkretny powód szukania trudniejszego rozwiązania? Czy to jest część jakiegoś większego zadania?