\(\displaystyle{ {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}}\)
używając interpretacji kombinatorycznej i rekurencji.
Kto mi pomoże?
Wykaż że zachodzi
-
math questions
- Użytkownik
- Posty: 923
- Rejestracja: 23 sie 2009, o 18:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: .....
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 171 razy
Wykaż że zachodzi
\(\displaystyle{ {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}}\)
\(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}= \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-k+1)!}+ \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+ \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}= \frac{(n-1)!k!(n-1-k)!+(n-1)!(k-1)!(n-k)!}{(k-1)!(n-k)!k!(n-1-k)!} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{(n-1)!(k-1)!k(n-1-k)!+(n-1)!(k-1)!(n-k-1)!(n-k)}{(k-1)!(n-k)!k!(n-1-k)!}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{(n-1)!k+(n-1)!(n-k)}{(n-k)!k!}= \frac{(n-1)!(k+n-k)}{(n-k)!k!}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{(n-1)!n}{(n-k)!k!} = \frac{n!}{(n-k)!k!}={n \choose k}}\)
myslę że nic nie pokręciłem
\(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}= \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-k+1)!}+ \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+ \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}= \frac{(n-1)!k!(n-1-k)!+(n-1)!(k-1)!(n-k)!}{(k-1)!(n-k)!k!(n-1-k)!} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{(n-1)!(k-1)!k(n-1-k)!+(n-1)!(k-1)!(n-k-1)!(n-k)}{(k-1)!(n-k)!k!(n-1-k)!}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{(n-1)!k+(n-1)!(n-k)}{(n-k)!k!}= \frac{(n-1)!(k+n-k)}{(n-k)!k!}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{(n-1)!n}{(n-k)!k!} = \frac{n!}{(n-k)!k!}={n \choose k}}\)
myslę że nic nie pokręciłem