Witam, mam dużo zadań do zrobienia i nie mam czasu zastanawiać się nad tym, proszę o rozwiązanie, żebym mógł na podstawie niego coś zrozumieć:
Udowodnij, że jeżeli p jest liczbą pierwszą oraz \(\displaystyle{ k < p, k \in N}\), to \(\displaystyle{ {p \choose k}}\) jest podzielne przez p.
Udowodnij / silnia
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnij / silnia
\(\displaystyle{ {p \choose k}=\frac{p!}{k!\cdot (p-k)!}}\)
Symbol Newtona zawsze ma wartości całkowite,stąd wnioskujemy, że:
\(\displaystyle{ (k!\cdot (p-k)!) | p!}\)
Jeśli jednak \(\displaystyle{ 0<k<p}\), to w rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ k!\cdot (p-k)!}\) nie występuje \(\displaystyle{ p}\) (dlaczego?). Stąd wniosek, że musi być też:
\(\displaystyle{ (k!\cdot (p-k)!) | (p-1)!}\) (dlaczego?)
co oznacza, że \(\displaystyle{ \frac{{p\choose k}}{p}}\) jest całkowite, a tego właśnie mieliśmy dowieść.
Q.
Symbol Newtona zawsze ma wartości całkowite,stąd wnioskujemy, że:
\(\displaystyle{ (k!\cdot (p-k)!) | p!}\)
Jeśli jednak \(\displaystyle{ 0<k<p}\), to w rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ k!\cdot (p-k)!}\) nie występuje \(\displaystyle{ p}\) (dlaczego?). Stąd wniosek, że musi być też:
\(\displaystyle{ (k!\cdot (p-k)!) | (p-1)!}\) (dlaczego?)
co oznacza, że \(\displaystyle{ \frac{{p\choose k}}{p}}\) jest całkowite, a tego właśnie mieliśmy dowieść.
Q.