Witam.
Rzucamy trzema różnymi kostkami. Ile jest możliwości otrzymania takich trójek, w których najwyższa wartość jest dwa razy większa od najniższej?
Od biedy można wypisać te możliwości ręcznie... ale czy udałoby się znaleźć sprytniejszy sposób?
Przydać się może informacja, że jedyne pary (min, max), to (1,2), (2,4), (3,6)
Z góry dziękuję.
Rzut 3 kostkami. Trójki wyników z warunkiem.
-
abc666
Rzut 3 kostkami. Trójki wyników z warunkiem.
No to trzeba wrzucić liczbę pomiędzy te co mamy czyli w pierwszym jedną z dwóch \(\displaystyle{ 1}\) albo \(\displaystyle{ 2}\). I potem to pomnożyć przez liczbę permutacji (w niektórych przypadkach z powtórzeniami).
-
patry93
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
Rzut 3 kostkami. Trójki wyników z warunkiem.
Nom, de facto jest to właśnie ręczne liczenie (jak dla mnie ).
Hm, a zwiększmy liczbę kostek do dziesięciu, albo ogólnie do \(\displaystyle{ n}\) i nie szukamy trójek, ale "n-tek". Teraz takie zliczanie nie będzie chyba zbyt efektywne? Tzn. może jednak będzie, ale problemy będą z permutacjami takich "n-tek", bo czasem dostaniemy nowy wynik, a czasem identyczny...
Hm, a zwiększmy liczbę kostek do dziesięciu, albo ogólnie do \(\displaystyle{ n}\) i nie szukamy trójek, ale "n-tek". Teraz takie zliczanie nie będzie chyba zbyt efektywne? Tzn. może jednak będzie, ale problemy będą z permutacjami takich "n-tek", bo czasem dostaniemy nowy wynik, a czasem identyczny...
-
abc666
Rzut 3 kostkami. Trójki wyników z warunkiem.
To może coś takiego. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ a_n(k)}\) liczbę różnych ciągów \(\displaystyle{ n}\) elementowych w których mamy \(\displaystyle{ k}\) różnych liczb \(\displaystyle{ (b_1, b_2,...,b_k)}\) i występuje conajmniej jeden element \(\displaystyle{ b_1}\) i co najmniej jeden \(\displaystyle{ b_k}\).
Wtedy odpowiedzią do naszego zadania będzie
\(\displaystyle{ a_n(2)+a_n(3)+a_n(4)}\).
\(\displaystyle{ a_n(2)=2^n-2}\)
Wybieramy na każdej kostce \(\displaystyle{ 1}\) albo \(\displaystyle{ 2}\) i odejmujemy sytuacje w których są same \(\displaystyle{ 1}\) albo \(\displaystyle{ 2}\).
\(\displaystyle{ a_n(3)=3^n-2a_n(2)-1}\)
Wybieramy na każdej kostce \(\displaystyle{ 2,3}\) lub \(\displaystyle{ 4}\). Teraz odejmujemy liczbę ciągów w której występują same 2 i 3 lub same 3 i 4. Potem jeszcze odejmujemy sytuacje gdy mamy same 3.
\(\displaystyle{ a_n(4)=4^n-2a_n(3)-3a_n(2)-2}\)
Analogicznie. Odejmujemy ciągi składające się z samych \(\displaystyle{ 3,4,5}\) (3 i 5 występują), z samych \(\displaystyle{ 4,5,6}\) (4 i 6 występują). Potem ciągi z samymi \(\displaystyle{ (3,4), (4,5)}\) lub \(\displaystyle{ (5,6)}\) i potem ciągi składające się z samych \(\displaystyle{ 4}\) lub samych \(\displaystyle{ 5}\).
Kurcze, nie za ładne to jest i nie wiem czy nie ma błędu.
Wtedy odpowiedzią do naszego zadania będzie
\(\displaystyle{ a_n(2)+a_n(3)+a_n(4)}\).
\(\displaystyle{ a_n(2)=2^n-2}\)
Wybieramy na każdej kostce \(\displaystyle{ 1}\) albo \(\displaystyle{ 2}\) i odejmujemy sytuacje w których są same \(\displaystyle{ 1}\) albo \(\displaystyle{ 2}\).
\(\displaystyle{ a_n(3)=3^n-2a_n(2)-1}\)
Wybieramy na każdej kostce \(\displaystyle{ 2,3}\) lub \(\displaystyle{ 4}\). Teraz odejmujemy liczbę ciągów w której występują same 2 i 3 lub same 3 i 4. Potem jeszcze odejmujemy sytuacje gdy mamy same 3.
\(\displaystyle{ a_n(4)=4^n-2a_n(3)-3a_n(2)-2}\)
Analogicznie. Odejmujemy ciągi składające się z samych \(\displaystyle{ 3,4,5}\) (3 i 5 występują), z samych \(\displaystyle{ 4,5,6}\) (4 i 6 występują). Potem ciągi z samymi \(\displaystyle{ (3,4), (4,5)}\) lub \(\displaystyle{ (5,6)}\) i potem ciągi składające się z samych \(\displaystyle{ 4}\) lub samych \(\displaystyle{ 5}\).
Kurcze, nie za ładne to jest i nie wiem czy nie ma błędu.