ile jest liczb siedmiocyfrowych

[bambusa1]

Ile liczb siedmiocyfrowych bedących wielokrotnościami 5 można utworzyć, jeśli przestawia się cyfry liczby \(\displaystyle{ 1052534}\)?

Tutaj na pewno będą permutacje z powtórzeniami, liczb bedących wielokrotnościami 5 mamy 3. Czy to bedzie \(\displaystyle{ P ^{2} _{7}}\)?

[mat_61]

liczb bedących wielokrotnościami 5 mamy 3.

O co chodzi w tym stwierdzeniu?

Tutaj na pewno będą permutacje z powtórzeniami

Permutacje z powtórzeniami, to ilość wszystkich możliwych ciągów zbioru złożonego z podanych cyfr w których element 5 powtarza się dwukrotnie. Ale jaki to ma związek z pytaniem w zadaniu?

Wskazówka:

- przez 5 dzielą się liczby których ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
- jako pierwsza nie może być oczywiście cyfra 0

[bambusa1]

No własnie mamy 3 cyfry które mogą być na końcu, tyle że 5 powtarza się 2 razy. No to jak w końcu ma być?

[mat_61]

Uwzględniasz sumę wariantów dla takich możliwości:

a) na ostatnim miejscu 0 (1 możliwość) + na pozostałych dowolne rozmieszczenie pozostałych cyfr ( \(\displaystyle{ \frac{6!}{2!}}\) możliwości)

b) na ostatnim miejscu 5 (...(?) możliwości), na pierwszym dowolna z pozostałych z wyjątkiem 0 (...(?) możliwości), na drugim dowolna z pozostałych (...(?) możliwości)

[bambusa1]

\(\displaystyle{ \frac{6!}{2!}+2 \cdot 5 \cdot 5!}\) ?
kompletnie tego nie rozumiem.

[mat_61]

Powinno być tak:

\(\displaystyle{ \frac{6!}{2!}+\frac {2 \cdot 5 \cdot 5!}{2!}}\)

albo tak:

\(\displaystyle{ \frac{6!}{2!}+1 \cdot 5 \cdot 5!}\)

Czego konkretnie nie rozumiesz w tym zadaniu?

Przy tym liczeniu wykorzystuje się metodę iloczynową. Przykładowo jak masz 5 sukienek, 3 pary butów i 4 bluzki, to możesz ubrać się na:

\(\displaystyle{ 5 \cdot 3 \cdot 4}\)

sposobów (choćby niektóre z zestawień były beznadziejne ).

Tutaj masz 7 elementów zbioru w tym 2 jednakowe (oznaczmy je jako 5/1 i 5/2). Interesują Cię, utworzone z tych elementów, liczby siedmiocyfrowe (czyli na początku nie może być 0) i podzielne przez 5 (czyli na końcu musi być albo 0 albo 5). rozpatrujesz dwa przypadki:

I: na ostatnim zero, czyli liczby wyglądają tak:

xxxxxx0

Ponieważ 0 ma już swoją pozycję, to na pozostałych miejscach możesz dowolnie rozmieścić pozostałe 6 cyfr. Można to zrobić na 6! sposobów, ale elementy 5/1 i 5/2 są nierozróżnialne, czyli ich wzajemna zamiana nie zmienia zapisanej liczby - można więc powiedzieć, że każdy taki układ jest liczony dwukrotnie. Dlatego dzielimy tą liczbę przez 2. W zapisie jest 2!, bo jest to ogólny wzór na permutacje z powtórzeniami (ponieważ 2!=2, to te zapisy są równoważne), ale gdyby jakiś element powtarzał się np. 3 razy, to wówczas w mianowniku byłoby 3! (bo te trzy nierozróżnialne elementy można by zamieniać między sobą na 3! sposobów).

II: na ostatnim miejscu 5, czyli liczby wyglądają tak:

xxxxxx5

Jeżeli ta piątka to element 5/1 lub 5/2 to mamy oczywiście 2 możliwości. Teraz "wybieramy" pierwszą cyfrę. To może być jedna z pozostałych i różna od zera, czyli mamy pięć możliwości:

1xxxxx5;
2xxxxx5;
itd.

Teraz na miejscach pomiędzy pierwszą i ostatnią cyfrą musimy rozmieścić w dowolny sposób pozostałych pięć cyfr, co oczywiście możemy zrobić na 5! sposobów. Podobnie jak w przykładzie powyżej, ponieważ elementy 5/1 i 5/2 są nierozróżnialne, to tą ilość dzielimy przez 2!, bo np. element 5/1 na ostatnim miejscu i 5/2 na trzecim, to taka sama liczba jak element 5/2 na ostatnim miejscu i 5/1 na trzecim (przy jednakowym rozmieszczeniu pozostałych cyfr).

Oczywiście możemy do tego wariantu podejść jeszcze w inny sposób (zakładając od razu nierozróżnialność elementów 5/1 i 5/2). Na ostatnim miejscu 5 (1 możliwość, bo cyfra jest ustalona) i dalej rozmieszczanie jak powyżej: na pierwszym miejscu 5 możliwości, pozostałe cyfry (każda inna, bo jedna piątka "została już zabrana" i "umieszczona" na ostatnim miejscu) rozmieszczone na 5! możliwych sposobów.

Czy teraz jest to bardziej zrozumiałe?

[bambusa1]

No teraz tak, dzięki wielkie