symbol Newtona znajdowanie wyrażeń

[taffer]

Mam 3 zadania.
1. Jaka liczba jest współczynnikiem przy \(\displaystyle{ x^{97}}\) w rozwinięciu \(\displaystyle{ (1+x)^{100}}\)?

2. Znaleźć wyrażenie nie zawierające \(\displaystyle{ x}\) w rozwinięciu \(\displaystyle{ (3x- \frac{2}{ x^{2} }) ^{9}}\).

3. Znaleźć współczynnik stojący przy \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}}\) rozwinięcia \(\displaystyle{ (2x+ \frac{1}{2x}) ^{9}}\).

*****************
co do pierwszego to robię że \(\displaystyle{ 1^{k} x^{100-k}= x^{97}}\)
k wychodzi 6 i liczę 100 po 6
chyba tak?

ale tego 2iego i 3ego nie mam pojęcia

[ares41]

1)
\(\displaystyle{ (1+x)^{100}=\sum_{k=1}^{100} {100\choose k} \cdot 1^{100-k} \cdot x^k=\sum_{k=1}^{100} {100\choose k} \cdot x^k\\\sum_{k=1}^{100} {100\choose k} \cdot x^k \Rightarrow a_{97}={100\choose 97}= \frac{100!}{(100-97)! \cdot 97!}=\frac{100!}{3! \cdot 97!}=\frac{100!}{3! \cdot 97!}= \frac{98 \cdot 99 \cdot 100}{6} =161700}\)

[taffer]

ok to wiem już gdzie robiłem błąd

a tego drugiego i trzeciego nikt nie wie? pewnie tak samo, ale nie wiem który to ma być np wyraz co nie zawiera x