Witajcie.
Mam takie zadanie:
Osiem osób ustawia się w kolejkach do trzech okienek. Na ile sposobów mogę się ustawić, aby:
a. Przy każdym okienku stała przynajmniej jedna osoba.
Do tego zadania mam następująca odpowiedź której nie mogę zrozumieć. Czy mógłby ktoś wyjaśnić jak to jest rozwiązane że wyszła taka odpowiedź, jak mam to czytać? Oto odpowiedź: \(\displaystyle{ 3^{\overline{8}}-3 \cdot 2^{\overline{8}}+3 \cdot 8!}\)
Dodam że 8 przy trójkach jest potęgą przyrastającą tylko nie wiedziałem jak ją napisać w latexie.
Rozmieszczenia osób w kolejkach.
-
dizel1988
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 30 lis 2006, o 18:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 35 razy
Rozmieszczenia osób w kolejkach.
Ostatnio zmieniony 27 paź 2010, o 20:23 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Kreskę nad symbolem uzyskujemy za pomocą '\overline{}', symbol mnożenia to '\cdot'.
Powód: Poprawa wiadomości. Kreskę nad symbolem uzyskujemy za pomocą '\overline{}', symbol mnożenia to '\cdot'.
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Rozmieszczenia osób w kolejkach.
W tym ostatnim składniku ma być znak minus. (*) - ma być jednak plus
Wyjaśnienie:
Pierwszy składnik: wszystkie możliwe ustawienia.
Wyobraź sobie trzy kolejki:
A:
B:
C:
Pierwsza osoba może zająć jedno z 3 miejsc, np.
A:
B:x
C:
Ustawienie tej osoby powoduje, że kolejną osobę możemy ustawić na jednym z 4 miejsc (w tym przykładzie w kolejce A lub w kolejce C lub w dwóch miejscach kolejki B)
Czyli każde umiejscowienie kolejnej osoby powiększa o jeden liczbę miejsc do ustawienia następnej osoby, stąd potęga narastająca czyli iloczyn kolejnych liczb od 3 do 10.
Drugi składnik: wszystkie możliwe ustawienia dla dwóch kolejek. (*) - patrz mój kolejny post
Trójka na początku to ilość możliwości wyboru 2 kolejek z 3.
Od tego momentu rozumowanie identyczne jak powyżej tzn. pierwsza osoba na jednym z dwóch możliwych miejsc. Ustawienie tej osoby powoduje powstanie dodatkowego miejsca do ustawienia kolejnej osoby itd.
Trzeci składnik: wszystkie możliwe ustawienia dla jednej kolejki. Myślę, że to nie wymaga komentarza.
(*) - EDYCJA 28.10.2010 patrz kolejny wpis z moim uzupełniającym wyjaśnieniem
Wyjaśnienie:
Pierwszy składnik: wszystkie możliwe ustawienia.
Wyobraź sobie trzy kolejki:
A:
B:
C:
Pierwsza osoba może zająć jedno z 3 miejsc, np.
A:
B:x
C:
Ustawienie tej osoby powoduje, że kolejną osobę możemy ustawić na jednym z 4 miejsc (w tym przykładzie w kolejce A lub w kolejce C lub w dwóch miejscach kolejki B)
Czyli każde umiejscowienie kolejnej osoby powiększa o jeden liczbę miejsc do ustawienia następnej osoby, stąd potęga narastająca czyli iloczyn kolejnych liczb od 3 do 10.
Drugi składnik: wszystkie możliwe ustawienia dla dwóch kolejek. (*) - patrz mój kolejny post
Trójka na początku to ilość możliwości wyboru 2 kolejek z 3.
Od tego momentu rozumowanie identyczne jak powyżej tzn. pierwsza osoba na jednym z dwóch możliwych miejsc. Ustawienie tej osoby powoduje powstanie dodatkowego miejsca do ustawienia kolejnej osoby itd.
Trzeci składnik: wszystkie możliwe ustawienia dla jednej kolejki. Myślę, że to nie wymaga komentarza.
(*) - EDYCJA 28.10.2010 patrz kolejny wpis z moim uzupełniającym wyjaśnieniem
Ostatnio zmieniony 28 paź 2010, o 10:53 przez mat_61, łącznie zmieniany 2 razy.
-
dizel1988
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 30 lis 2006, o 18:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 35 razy
Rozmieszczenia osób w kolejkach.
A to samo zadanie tylko że "Przy dokładnie dwóch okienkach były ustawione osoby."
Odpowiedź jest 3 razy 2 do 8 przyrastające (tą część akurat rozumiem) i później jest "minus 6 razy 8 silnia" ale skąd to 6 to pojęcia nie mam.
Odpowiedź jest 3 razy 2 do 8 przyrastające (tą część akurat rozumiem) i później jest "minus 6 razy 8 silnia" ale skąd to 6 to pojęcia nie mam.
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Rozmieszczenia osób w kolejkach.
To dodatkowe pytanie uświadomiło mi, ze w poprzedniej odpowiedzi popełniłem błąd. Nie zwróciłem uwagi, że:
Drugi składnik: wszystkie możliwe ustawienia dla dwóch kolejek. zawiera w sobie także te warianty, że jedna kolejka może być pusta. Jeżeli np. wybraliśmy kolejkę A i B, to ustawiając w nich losowo osoby mamy także takie warianty, że wszystkie osoby znajdą się np. kolejce A (a mogą być one tam ustawione na \(\displaystyle{ 8!}\) sposobów). Ponieważ mamy trzy warianty po dwie kolejki i w każdym z nich jedna z dwóch kolejek może być pusta, to drugi składnik zawiera \(\displaystyle{ 3 \cdot 2 \cdot 8!}\) wariantów "jednokolejkowych". Podsumowując wariantów "dwukolejkowych" jest:
\(\displaystyle{ 3 \cdot 2^{\overline{8}}-6 \cdot 8!}\)
Dlatego też podana przez Ciebie odpowiedź do zadania 1) jest poprawna ponieważ mamy:
\(\displaystyle{ 3^{\overline{8}} - \left( 3 \cdot 2^{\overline{8}}-6 \cdot 8!\right) -3 \cdot 8!=3^{\overline{8}}-3 \cdot 2^{\overline{8}}+3 \cdot 8!}\)
Za chwilę zedytuję swój poprzedni wpis, żeby kogoś nie wprowadzić w błąd.
Drugi składnik: wszystkie możliwe ustawienia dla dwóch kolejek. zawiera w sobie także te warianty, że jedna kolejka może być pusta. Jeżeli np. wybraliśmy kolejkę A i B, to ustawiając w nich losowo osoby mamy także takie warianty, że wszystkie osoby znajdą się np. kolejce A (a mogą być one tam ustawione na \(\displaystyle{ 8!}\) sposobów). Ponieważ mamy trzy warianty po dwie kolejki i w każdym z nich jedna z dwóch kolejek może być pusta, to drugi składnik zawiera \(\displaystyle{ 3 \cdot 2 \cdot 8!}\) wariantów "jednokolejkowych". Podsumowując wariantów "dwukolejkowych" jest:
\(\displaystyle{ 3 \cdot 2^{\overline{8}}-6 \cdot 8!}\)
Dlatego też podana przez Ciebie odpowiedź do zadania 1) jest poprawna ponieważ mamy:
\(\displaystyle{ 3^{\overline{8}} - \left( 3 \cdot 2^{\overline{8}}-6 \cdot 8!\right) -3 \cdot 8!=3^{\overline{8}}-3 \cdot 2^{\overline{8}}+3 \cdot 8!}\)
Za chwilę zedytuję swój poprzedni wpis, żeby kogoś nie wprowadzić w błąd.