2 Zadania z dowodzenia na liczbach naturalnych

[kaxm]

Witam, mam problem z takimi zadaniami:
1.Wykazac, ze liczby naturalne postaci \(\displaystyle{ 7k+3}\) i \(\displaystyle{ 7k+5}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\), nie moga byc kwadratami liczb naturalnych.
2.Wykazac, ze liczba \(\displaystyle{ 5^{120} - 4^{60}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 21}\).
Niestety nie mam pomysłu na te zadania

[anna_]

2.
\(\displaystyle{ 5^{120}-4^{60}=(5^{60}-4^{30})(5^{60}+4^{30})=....}\)

[kaxm]

w pewnym momencie dochodzimy do czegos takiego:
\(\displaystyle{ (5^{15} - 4^{7,5})(5^{15} + 4^{7,5})(5^{30} + 4^{15})(5^{60} + 4^{30})}\)

[anna_]

2.
\(\displaystyle{ 5^{120}-4^{60}=(5^{60}-4^{30})(5^{60}+4^{30})=(5^{30}-4^{15})(5^{30}+4^{15})(5^{60}+4^{30})=\\
((5^{10})^3-(4^{5})^3)(5^{30}+4^{15})(5^{60}+4^{30})=}\)

Do pierwszego nawiasu wzór skróconego mnożenia

[kaxm]

nom wychodzi wtedy\(\displaystyle{ (5^{10} - 4^{5})(5^{20} + 4^{5}*5^{10} + 4^{10})(5^{30} + 4^{15})(5^{60} + 4^{30})}\)

[anna_]

I teraz jako, że nie mam innego pomysłu
\(\displaystyle{ (a^{10}-b^5):(a^2-b)=a^8 + a^6b + a^4b^2 + a^2b^3 + b^4}\)
więc
\(\displaystyle{ a^{10}-b^5=(a^2-b)(a^8 + a^6b + a^4b^2 + a^2b^3 + b^4)}\)

1.
100300.htm#p368261

[patrykos91]

Apropo 2 zadania bo nie jestem pewien.

Czy nie wystarczy tego zrobić tak:

\(\displaystyle{ 5^{120} - 4^{60} = \left( 5^{2}\right)^{60} - 4^{60} = 25^{60}-4^{60} =}\) // ze wzoru \(\displaystyle{ a^{n} - b^{n}}\) // \(\displaystyle{ \left( 25-4\right)\left( ...\right)}\)

jeden z czynników to 21 więc całość dzieli sie przez 21.

[anna_]

a jak rozpisać wzór na różnicę sześćdziesiątych potęg nie mając do dyspozycji programów matematycznych?

[patrykos91]

To trzeba go całego rozpisywać , skoro pierwszy nawias od razu dowodzi podzielności , bez znaczenia co było by w drugim .. ?

[anna_]

Ok. W takim razie mógłbyś to rozpisać?
Jak wyszedł ten pierwszy nawias?
Gdyby w zadaniu było napisane znajdź liczbę, przez którą dzieli się... to jakbyś to rozpisywał nie znając wyniku?