Zagadka - Problem - Kostka Rubika

[Mrlos]

Witam...
Posiadam książkę "Łamigłówki Liczbowe" - Ken Russell, Philip Carter - i utknąłem na jednym zadaniu.
Napiszę jego pełną treść i odpowiedź do niego. Chodzi mi o to, żeby ktoś mi wytłumaczył jak dojść do wyniku podanego w odpowiedzi.

Zadanie:
"Powierzchnia kostki Rubika składa się z 54 barwnych kwadratów w 6 różnych kolorach. Można nimi obracać we wszystkie strony, a cel polega na uzyskaniu jednolitych kolorów na wszystkich sześciu ścianach kostki. Zgadnij, jaka jest łączna liczba możliwych do uzyskania stanów kostki.
Czy jest to, w przybliżeniu (a), (b), (c) czy (d)?
(a) 4 z 19 zerami
(b) 4 z 21 zerami
(c) 4 z 23 zerami
(d) 4 z 25 zerami"

Odpowiedź:
"(a) W przybliżeniu 4 z 19 zerami.
Dokładna liczba wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{(8!*12!*3 ^{8}*2 ^{12})}{(2*3*2)}= 43 252 003 274 489 856 000}\)"

Proszę o wyjaśnienie mi skąd się wzięło to działanie w odpowiedzi.
Pozdrawiam, Grzegorz.

PS: Nie wiedziałem gdzie to zadanie wrzucić więc dałem je tutaj. Myślę, że pasuje tutaj i w 'Łamigłówki i zagadki logiczne'...

[abc666]

Jeśli będziesz myślał o kostce jako naklejkach to może być ci trudno. Klasyczna kostka Rubika 3x3x3 składa się z 8 narożników które mają 3 kolory, 12 krawędzi które mają dwa kolory oraz 6 środków które maja jeden stały kolor. Środki nie przemieszczają się wzajemnie. Ta liczba którą podałeś otrzymuje się tak. Umieszczamy 8 narożników na miejscach na \(\displaystyle{ 8!}\) sposobów. Każdy może być ustawiony na jeden z 3 sposobów. Stąd \(\displaystyle{ 3^8}\). Wstawiamy 12 narożników na \(\displaystyle{ 12!}\) sposobów. Każdy ma dwa możliwe ustawienia stąd \(\displaystyle{ 2^{12}}\). Jednak nie wszystkie stany na kostce są możliwe. Nie można obrócić tylko jednego rogu, tzn. ustawienie 11 rogów determinuje ustawienie 12 stąd dzielimy przez 3. Nie można obrócić jednej krawędzi, na takiej samej zasadzie. Nie można przestawić miejscami dwóch krawędzi na kostce nie zmieniając nic innego, stąd co druga z wyliczonych dotąd permutacji jest możliwa dlatego jeszcze przez dwa (można też dzielić przy rogach bo mamy tą samą sytuację, ale liczymy albo przy rogach albo krawędziach bo już dwie krawędzie i dwa rogi można przestawić).

[Mrlos]

Dzięki za objaśnienie... Teraz wszystko jest proste...

[masssa]

mógłby ktoś bardziej łopatologicznie wyjaśnić skąd wziął się mianownik w tym przykładzie?

[Dasio11]

Licznik odpowiada wszystkim możliwym stanom. Jednak z tej liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) ma prawidłowo obrócony narożnik, \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) prawidłowo obróconą krawędź oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) prawidłowo umieszczony narożniki i krawędzie. Prawidłowy stan posiada wszystkie te cechy, dlatego \(\displaystyle{ \frac{1}{3 \cdot 2 \cdot 2}}\) z całej liczby jest w takim stanie, jaki można osiągnąć wychodząc z kostki ułożonej.

[abc666]

mógłby ktoś bardziej łopatologicznie wyjaśnić skąd wziął się mianownik w tym przykładzie?

No tutaj piszemy po prostu, że tak jest. Jeśli chcesz formalnego dowodu to musisz poczytać o teorii grup i grupie permutacji kostki.