zadania z dyskretnej(modulo i podobne)

saltcushy · Post autor: **saltcushy** » 17 paź 2010, o 17:25

1.pokarz że w 7 liczb całkowitych istnieją conajmniej dwie, których różnica jest podzielna przez 6.
2.ile liczb przyszłych z przedziału 100.9999 ma różne cyfry .
3.zaznacz wszystkie liczby naturalne x mniejsze od 6 takie że \(\displaystyle{ 4x\equiv 4(mod 6)}\). bardzo bym prosił o rozwiązanie może mi te zadania pozwolą zrozumieć i uda mi się zaliczyć warunek w piątek, proszę o rozpisanie a nie regułkę

jackm41 · Post autor: **jackm41** » 18 paź 2010, o 23:11

Witam.
1.
Zauważ, że liczby całkowite są w postaci (jeżeli chodzi o dzielenie przez 6):
6k lub
6k+1 lub
6k+2 lub
6k+3 lub
6k+4 lub
6k+5

Rożnica dwóch liczb jest podzielna przez 6, gdy ich reszty z dzielenia są takie same. Zgodnie z zasadą szufladkową Dirichleta jeżeli mamy 7 liczb a 6 różnych reszt z dzielenia przez 6, to przynajmniej dwie liczby będą miały taką samą resztę z dzielenia. Wtedy właśnie różnica dwóch liczb będzie podzielna przez 6.

saltcushy · Post autor: **saltcushy** » 19 paź 2010, o 02:59

Czyli mam rozumieć że jeśli reszta z dzielenia jest taka sama dla dwóch liczb to wtedy uznaje się za podzielną przez sześć?, chciałby zobaczyć na jakimś przykładzie

jackm41 · Post autor: **jackm41** » 19 paź 2010, o 18:13

Masz rozumieć to tak, że jeżeli dwie liczby mają taką samą resztę z dzielenia przez 6, to ich różnica jest podzielna przez 6. Jakiej byś liczb nie wziął, to będzie miała jedną z 6 reszt w dzieleniu przez 6 (0,1,2,3,4,5). Załóżmy że a= 6k+3 i b=6l+3 (mają takie same reszty, jest to trójka), k,l \(\displaystyle{ \in C}\).
\(\displaystyle{ a - b = 6k + 3 - (6l + 3) = 6k + 3 - 6l - 3 = 6 (k - l).}\)
pzdr

saltcushy · Post autor: **saltcushy** » 20 paź 2010, o 20:07

Troche mi to przypomina z tym równania chyba rekurencyjne np.
\(\displaystyle{ 11^{n+1}+12^{2n-1}}\) przez 133 , z ktorymi też mam problem w twoim poscie pisze że 6k+3 jak to mam rozumieć np reszta zwiększa się +3 ale podales zakres 1-6, nie rozumiem tego zapisu

jackm41 · Post autor: **jackm41** » 20 paź 2010, o 20:35

Przykro mi, nie widzę tu powiązania z tym, co napisałeś. Nie wiem czemu masz problem z zapisem 6k+3. Masz to rozumieć tak,że ta liczba daje resztę 3 przy dzieleniu przez 6.

... ale podales zakres 1-6...

Nie wiem w którym miejscu podałem taki zakres i o jaki zakres Ci chodzi. Zakres (o ile to brzmi w miarę poprawnie) reszt z dzielenia przez 6? Podałem od 0 do 5...

saltcushy · Post autor: **saltcushy** » 21 paź 2010, o 18:00

jackm41 pisze: daje resztę 3 przy dzieleniu przez 6.

Włąsnie mi to tro chodziło, poprostu nierozumiem tych znaków dodatkowych(k,l)
A 'k' co oznacza

? Podałem od 0 do 5..

Włąsnie mi o to chodziło, potraktowałem 0 jako 1.

jackm41 · Post autor: **jackm41** » 21 paź 2010, o 18:41

Liczby k i l to są po prostu jakieś liczby całkowite. Napisałem wcześniej : k,l \(\displaystyle{ \in C}\) (czyli liczby k i l należą do zbioru liczb całkowitych). Dla przykładu liczba 27 jest w postaci 6k+3 (lub 6l + 3, literka obojętna), bo \(\displaystyle{ 27=4*6+3}\). Tutaj tym k (czy l czy obojętnie jaka literka) jest 4. Mam nadzieję, że już rozumiesz.

saltcushy · Post autor: **saltcushy** » 21 paź 2010, o 21:05

Rozumiem teraz , proszę jesze te modulo z 3zad:)
Jest bardzo ważne, inaczej zawale 2 semestr

jackm41 · Post autor: **jackm41** » 21 paź 2010, o 22:55

Zadanie 2 - proszę sprecyzuj treść zadania. Mogę się ewentualnie domyślać o co chodzi, chociaż nie rozumiem tu czegoś ("liczby przyszłe?"). Zadanie 3 - nie wiem czego nie rozumiesz, liczb naturalnych mniejszych od 6 jest zaledwie kilka, wystarczy sprawdzić "na piechotę", które liczby po pomnożeniu przez 4 dają taką samą resztę w dzieleniu przez 6 jak 4. Można to też zrobić inaczej:
\(\displaystyle{ 4x\equiv 4(mod 6) \\
4x-4\equiv 0(mod 6) \\
4(x-1)\equiv 0(mod 6) \\}\)
Więc 4(x-1) dzieli się przez 6. Więc 4(x-1) dzieli się zarówno przez 2, jak i przez 3. Przez 2 już się dzieli (widać tą czwórkę), musisz sprawić, że x-1 jest podzielne przez 3. Więc łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ x=1 \vee x=4}\) (jeżeli chodzi o liczby naturalne mniejsze od 6). Btw. może bardziej wyznacz wszystkie liczby, nie zaznacz. Nie żebym się czepiał
pzdr

saltcushy · Post autor: **saltcushy** » 21 paź 2010, o 23:03

jackm41 pisze:Liczby k i l to są po prostu jakieś liczby całkowite. Napisałem wcześniej : k,l \(\displaystyle{ \in C}\) (czyli liczby k i l należą do zbioru liczb całkowitych). Dla przykładu liczba 27 jest w postaci 6k+3 (lub 6l + 3, literka obojętna), bo \(\displaystyle{ 27=4*6+3}\). Tutaj tym k (czy l czy obojętnie jaka literka) jest 4. Mam nadzieję, że już rozumiesz.

Jest to treść dokładnie tak samo sformułowane jak miałem na egzaminie, fotka z egzaminu, znalazłem rozwiązanie ale go nie rozumiem

Kod: Zaznacz cały

przedział 100 do 999:
8*8*5 = 320

przedział 1000 do 9999:
8*8*7*5 = 2240

Rozwiązanie: 
2240 + 320 = 2560

jackm41 · Post autor: **jackm41** » 21 paź 2010, o 23:30

Czyli chodzi o wszystkie liczby z przedziału od 100 do 9999, które mają wszystkie cyfry różne. Myślę, że rozwiązanie powinno być takie:
\(\displaystyle{ 9 \cdot 9 \cdot 8 + 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}\)
Chodzi tu o to, aby rozpatrzyć ilość możliwości na miejscach liczby setek, dziesiątek i jedności, to np. w liczbie trzycyfrowej na miejscu liczby setek może być jedna z 9 różnych liczb (od 1 do 9, bez 0), na miejscu liczby dziesiątek również jedna z 9 (bo odejmujemy jedną poprzednią, jest już "wykorzystana", ale dodajemy 0, bo na miejscu dziesiątek 0 może być, w przeciwieństwie do liczby setek). I jeżeli chodzi o liczbę jedności, to jest 8 możliwości (to jest to całe \(\displaystyle{ 9 \cdot 9 \cdot 8}\). Analogicznie trzeba postąpić z liczbą 4-cyfrową. pzdr