Mam rownanie:
x1 + x2 + x3 + x4 = 12
Ile jest rozwiązań tego równiania w liczbach naturalnych?
a) jeśli 0 należy do naturalnych
b) jeśli 0 nie należy do naturalnych
Prosiłbym o wytłumaczenie, jak to można rozwiązać. Wiem, że trzeba tu użyć kombinacji z powt., ale nie wiem jak.
suma 4-ch liczb = 12
-
jeyw
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 22 lis 2006, o 17:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 4 razy
suma 4-ch liczb = 12
zaczne od punktu b)
\(\displaystyle{ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\}\)
wsadzając pomiędzy te kulki 3 kreski odzielające np,:
\(\displaystyle{ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ |\bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ |\bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ |\bigcirc\}\)
wyznacza mi rozwiązanie tego rownania w postaci \(\displaystyle{ 3+3+5+1}\)
Czyli teraz zadanie sprowadza się do odpowiedzi na pytanie: na ile sposobów możemy wstawić takie 3 kreski.
Odpowiedz jest juz prosta:\(\displaystyle{ {11\choose 3}}\)
w podpunkcie a) jest drobny problem ponieważ może się zdażyć taka sytuacja:
\(\displaystyle{ ||\bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ |\bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\}\)
co odpowiada roziwiązaniu: \(\displaystyle{ 0+0+3+9}\)
i w tym momencie trzeba zrobić trick, żeby móc zrobić coś podobnego do tego co było w podpunkcie b).
Wystarczy, że wykluczymy, że któraś spośród liczb \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}}\) będzie równa \(\displaystyle{ 0}\). no to dodajmy do każdej z liczb \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\ 1}\). Mamy teraz tożsame równanie : \(\displaystyle{ (x_{1}+1) +( x_{2}+1)+(x_{3}+1)+( x_{4}+1)=16}\)
Podstawmy: \(\displaystyle{ y_{1}=x_{1}+1,y_{2}= x_{2}+1,y_{3}= x_{3}+1,y_{4}= x_{4}+1}\)
Wczesniej mieliśmy, że \(\displaystyle{ 0\leq x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}}\)
Teraz mamy, że \(\displaystyle{ 0< y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}}\), oczywiście, wszzystko się dzieje w liczbach naturalnych.
Teraz można zrobić identycznie jak w punkcie b).
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\}\)
wsadzając pomiędzy te kulki 3 kreski odzielające np,:
\(\displaystyle{ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ |\bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ |\bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ |\bigcirc\}\)
wyznacza mi rozwiązanie tego rownania w postaci \(\displaystyle{ 3+3+5+1}\)
Czyli teraz zadanie sprowadza się do odpowiedzi na pytanie: na ile sposobów możemy wstawić takie 3 kreski.
Odpowiedz jest juz prosta:\(\displaystyle{ {11\choose 3}}\)
w podpunkcie a) jest drobny problem ponieważ może się zdażyć taka sytuacja:
\(\displaystyle{ ||\bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ |\bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\ \bigcirc\}\)
co odpowiada roziwiązaniu: \(\displaystyle{ 0+0+3+9}\)
i w tym momencie trzeba zrobić trick, żeby móc zrobić coś podobnego do tego co było w podpunkcie b).
Wystarczy, że wykluczymy, że któraś spośród liczb \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}}\) będzie równa \(\displaystyle{ 0}\). no to dodajmy do każdej z liczb \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\ 1}\). Mamy teraz tożsame równanie : \(\displaystyle{ (x_{1}+1) +( x_{2}+1)+(x_{3}+1)+( x_{4}+1)=16}\)
Podstawmy: \(\displaystyle{ y_{1}=x_{1}+1,y_{2}= x_{2}+1,y_{3}= x_{3}+1,y_{4}= x_{4}+1}\)
Wczesniej mieliśmy, że \(\displaystyle{ 0\leq x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}}\)
Teraz mamy, że \(\displaystyle{ 0< y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}}\), oczywiście, wszzystko się dzieje w liczbach naturalnych.
Teraz można zrobić identycznie jak w punkcie b).
Pozdrawiam