Zadania - kombinatoryka

[drag311]

1. ze zbioru liczb \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,5\}}\) układamy liczby 3-cyfrowe. Ile jest możliwości ułożenia liczby:
a) większej od \(\displaystyle{ 222}\)
b) mniejszej od \(\displaystyle{ 432}\)


2. Rzucamy 3 razy kostką. Ile jest możliwości wypadnięcia:
a)1 szóstki
b)2 szóstek
c)co najmniej 1 szóstki
d)tylko liczb parzystych


3.Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ \{1,2,3,...,2n+1\}}\) losujemy 2. Ile jest możliwości wyboru liczb:
a)2 parzystych
b)parzystej i nieparzystej
c)2 kolejnych
d)2 różniących się o 3

[mat_61]

Czy coś próbowałeś zrobić z tymi zadaniami? Masz jakieś konkretne pytania?

1a)Policz kolejno ilość liczb:

- mniejszych od 230 (łatwe)
- od 231 do 255 (na II miejscu: 3,4,5 na III miejscu: dowolna)
- od 311 (na I miejscu: 3,4,5 na pozostałych dowolne)

1b) wg tej samej zasady

2) Spróbuj sam coś zrobić

3) Ile w tym zbiorze jest liczb: parzystych, nieparzystych, par dwóch kolejnych liczb, par liczb różniących się o 3?

[lisekpk]

A ja sobie spróbuje zrobić
czyli mamy zbiór \(\displaystyle{ {1,2,3,4,5}}\)
a) \(\displaystyle{ _ _ _}\) mamy 3 miejsca bo liczba ma być trzycyfrowa, szukamy możliwości większych niż 222, a więc na pierwszym miejscu możemy dać liczby >= 2, na drugim miejscu tak samo, na trzecie miejsce mozemy dać wszystkie liczby ( bo moze być też np. taka sytuacja: 231).
Podsumowując, na 1. miejsce mamy 4 możliwości, na 2. też 4, a na 3. aż 5 możliwości.
No i ostatecznie musimy wykluczyć ilość liczb niespełniających poczatkowe załozenie (czyli > 222).
Wynik: \(\displaystyle{ 4*4*5 - 2}\) (czyli dwa przypadki: 221 i 222, które nie spełniają założenia)

[mat_61]

lisekpk, to niestety nie jest poprawne rozwiązanie

Jeżeli na pierwszym miejscu są cyfry większe od 2, to na drugim może być także 1 (czyli dowolna z pięciu cyfr) np. liczba 413, a tego nie uwzględnia Twoje rozwiązanie.

[lisekpk]

czyli \(\displaystyle{ 4*5*5 - 2}\)?

[mat_61]

Też nie.

Zauważ, że to na ile sposobów może być wybrana cyfra na II miejscu zależy od tego co jest na I miejscu (jeżeli na pierwszym jest 2 to na drugim nie może być 1, jeżeli jest większa od 2 to może być 1). A zasada iloczynowa dotyczy tylko zdarzeń niezależnych.

Przeczytaj uważnie moją pierwszą wskazówkę. Tam jest osobno liczony każdy z tych przypadków.

[lisekpk]

Zad 1 a)
\(\displaystyle{ {1,2,3,4,5}}\)
_ _ _ > 222
\(\displaystyle{ 1(cyfra 2) * 4 * 3 + 3!(cyfry 3,4 lub 5) * 5 * 5}\)
czyli: 1 * 4 * 3 + 3! * 5 * 5 = 12 + 150 = 162

[Inkwizytor]

Zad 1a)
Na pierwszym miejscu 3,4,5 to na pozostałych dowolnie
\(\displaystyle{ 3 \cdot 5^2=75}\)
Na pierwszym miejscu 2, na drugim 3,4,5 a na trzecim dowolnie
\(\displaystyle{ 1 \cdot 3 \cdot 5=15}\)
Na pierwszym i drugim miejscu 2, na trzecim 3,4,5
\(\displaystyle{ 1 \cdot 1 \cdot 3=3}\)

WYNIK: 93

1b) analogicznie

Zad 3a)
Spośród 2n+1 ile jest parzystych? Łatwo zauważyć że n (bo zaczynamy i kończymy ten ciąg liczba nieparzystą) Skoro n parzystych i wybieramy 2 to mamy \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) wyborów
b) zrób analogicznie
c) 2 kolejne liczby to (1,2) , (2,3) , (3,4) ... (2n,2n+1) -> ile jest takich par?
d) analogicznie jak c) zwróc uwage ze w c) różnica wynosiła 1 a tu 3 -> dla sposobu rozwiazania nie ma to znaczenia. Zmieni sie tylko liczba mozliwosci