Metody zliczania

[Argot]

Znajdź liczbe wszystkich rozwiazań równiania

\(\displaystyle{ x+y+z=13}\)
w zbiorze liczb naturalnych

i w książce mam to wyjaśnione że musze to sprowadzic do równoważnego mu równiania w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych

\(\displaystyle{ \alpha+1=x}\), \(\displaystyle{ \beta+1=y}\), \(\displaystyle{ \gamma+1=z}\)
i wtedy równianie jest równoważne temu równaniu

\(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = 10}\)

i niewiadomą należacą do zbioru liczb całkowitych nieujemnych. Stad liczba wszystich rozwiązań naszego równania wynosi \(\displaystyle{ {3+10-1 \choose 10}=66}\)

byłem chory i ni jak nie moge zrozumieć tego przykładu z książki czy mógł by ktoś go jaśniej wytłumaczyc dlaczego = 10 oraz skąd wzięły sie liczby \(\displaystyle{ {3+10-1 \choose 10}}\) oraz co tutaj zostało zastosowane że wynik wychodzi 66 ?

[abc666]

Ustaw sobie na stole \(\displaystyle{ n}\) kulek w rzędzie. Pomiędzy kulkami jest \(\displaystyle{ n-1}\) przerw i jeszcze dwa miejsca po lewej i prawej stronie wszystkich kulek. Mamy więc \(\displaystyle{ n+1}\) miejsc w które możemy wstawić przegrody. Jeśli mamy w równaniu\(\displaystyle{ k}\) składników to musimy wstawić \(\displaystyle{ k-1}\) przegród, żeby podzielić kulki. Liczba sposobów wstawienia tych przegród to kombinacje z powtórzeniami i jest ona równa liczbę rozwiązań równania w całkowitych nieujemnych.