Losowanie kul z pojemnika

lisekpk · Post autor: **lisekpk** » 5 paź 2010, o 15:33

Witam!
Treść zadania:
W pojemniku znajduje się 6 kul białych, 6 czarnych i 6 zielonych. Na ile różnych sposobów możemy wyjąć z pojemnika 3 kule, tak aby otrzymać:
a) 3 kule białe
b) 3 kule jednego koloru
c) co najmniej jedną kulę białą
d) 2 kule białe i 1 kulę zieloną
e) kule w różnych kolorach
f) kule w dwóch kolorach

No i wg. mnie to:
Mamy 18 kul:
6 białych 6 czarnych 6 zielonych
więc:
a) będzie wynosiło \(\displaystyle{ {6 \choose 3}}\), bo wybieramy tylko z tych białych nie?
b) nie wiem
c) \(\displaystyle{ {6 \choose 3} \cdot ???}\)
d)\(\displaystyle{ {6 \choose 2} \cdot {6 \choose 1}}\)
e) \(\displaystyle{ {6 \choose 1}\cdot {6 \choose 1}\cdot {6 \choose 1} = 6\cdot 6\cdot 6 = 216}\)
f) nie wiem

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 5 paź 2010, o 18:33

Wskazówka:

b) trzy kule jednego koloru, czyli 3 kule białe LUB 3 kule czarne LUB 3 kule zielone: należy obliczyć sumę tych możliwości

c) co najmniej jedną kulę białą, czyli 1 kulę białą (+ 2 innego koloru) LUB 2 kule białe (+ 1 innego koloru) LUB 3 kule białe.

Czy znasz pojęcie zdarzenia przeciwnego?

f) kule w dwóch kolorach: czyli 3 spośród białych i czarnych LUB 3 spośród białych i zielonych LUB 3 spośród czarnych i zielonych

lisekpk · Post autor: **lisekpk** » 5 paź 2010, o 20:56

b) \(\displaystyle{ {6\choose 3}+{6\choose 3}+{6\choose 3} = 60}\)
c) \(\displaystyle{ {6\choose 1}*{12\choose 2}+{6\choose 2}*{12\choose 1}+{6\choose 3} ??}\)
f) \(\displaystyle{ {12\choose 3}+{12\choose 3}+{12\choose 3} ??}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 5 paź 2010, o 21:14

b) i c) OK (w b) można zapisać \(\displaystyle{ 3 \cdot {6 \choose 3}}\) )

f) Nie

Tak jak napisałeś nie gwarantuje wylosowania kul w dwóch kolorach (może zbyt skrótowo napisałem wskazówkę), bo jeżeli losujemy 3 z 12 to możemy wylosować 3 tego samego koloru. Dlatego 3 spośród białych i czarnych oznacza (1 białą i 2 czarne LUB 2 białe i 1 czarną). Czyli takich możliwości będzie:

\(\displaystyle{ {6 \choose 1} \cdot {6 \choose 2} +{6 \choose 2} \cdot {6 \choose 1}=2 \cdot {6 \choose 1} \cdot {6 \choose 2}}\)

Skoro takie dwukolorowe kombinacje są 3 to wszystkich możliwości będzie ...(?)

lisekpk · Post autor: **lisekpk** » 5 paź 2010, o 21:39

No to dla trzech będzie
\(\displaystyle{ 3* {6\choose 2}*{6\choose 1}}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 5 paź 2010, o 21:43

Gdzieś "zgubiłeś" dwójkę

lisekpk · Post autor: **lisekpk** » 5 paź 2010, o 21:57

czyli jeszcze wszystko razy 2?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 5 paź 2010, o 21:59

Tak, bo przez 3 miałeś pomnożyć to co napisałem o 20:14

lisekpk · Post autor: **lisekpk** » 5 paź 2010, o 22:06

Hm.. no ok, dzięki, muszę jeszcze sobie to przeanalizować, bo nie za bardzo rozumiem czemu przez to 2 jeszcze.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 5 paź 2010, o 22:19

Dlatego, że po wyborze dwóch kolorów (co możesz zrobić na trzy sposoby, dlatego na końcu mnożysz przez trzy) możesz wylosować albo jedną kulę koloru pierwszego i dwie kule drugiego koloru, albo jedną kulę koloru drugiego i jedną kulę pierwszego koloru. Czyli w obrębie dwóch kolorów masz możliwości:

\(\displaystyle{ {6 \choose 1} \cdot {6 \choose 2} +{6 \choose 2} \cdot {6 \choose 1}=2 \cdot {6 \choose 1} \cdot {6 \choose 2}}\)

Teraz wiesz dlaczego tak jest?

lisekpk · Post autor: **lisekpk** » 6 paź 2010, o 17:25

Ok, już wszystko jasne. Dzięki.