Ustawienia w szeregu - zadanie do sprawdzenia.

[lisekpk]

Witam
Zadanie:
Na ile różnych sposobów można ustawić w szeregu czterech chłopców i trzy dziewczynki tak, aby:
a) najpierw stały dziewczynki, a następnie chłopcy,
b) najpierw stali chłopcy, a następnie dziewczynki,
c) pierwszy stał chłopiec,
d) pierwsza stała dziewczynka,
e) pierwszy i drugi stał chłopiec,
f) pierwszy i ostatni stał chłopiec,
g) żadnych dwóch chłopców nie stało obok siebie.
No i trochę sam policzyłem:
Ad.a)
no to dziewczynki można ułożyć na 3! sposobów a chłopców na 4! sposobów:
d d d ch ch ch ch
czyli wynik: 3! + 4!

Ad.b)
tak samo: 4! + 3!

Ad.c)
więc tu pierwszy chłopiec będzie obiektem stałym, którego możemy wskazać z 4 chłopaków, a nastepnych chłopaków możemy już ułożyć na 3! sposobów i dziewczyny też
4 * 3! * 3!

Ad.d)
pierwsza ma stać dziewczynka którą wybrać możemy z pośród 3, a resztę to: 2! dziewczyn razy 4! chłopaków:
3 * 2! * 4!

Ad.e)
pierwsze dwa miejsca zajmują chłopcy których wybiorę, na pierwsze miejsce z 4 a na drugie już z 3
4 * 3 * 2! * 3!


Ad. f)
pierwszego chłopaka ustawię na 4 sposoby a ostatniego na 3, więc będzie w sumie tak samo:
4 * 3 * 2! * 3!

Ad.g)
i tu niestety nie wiem ;D

Pomóżcie mi to ogarnąć
Wiem, że nie jest trudne, ale jak się nie robi, to potem za dużo pomysłów w mojej głowie sie rodzi

[mat_61]

a) b) zasada iloczynów. Ilości możliwości ustawień należy pomnożyć a nie dodać.

c) pierwszy chłopiec, ale pozostałe sześć osób dowolnie, czyli ilość możliwości:

\(\displaystyle{ 4 \cdot 6!}\)

d) e) f) na podobnej zasadzie jak c).

Popraw te przykłady, to wtedy napiszę Ci wskazówkę do g)

[lisekpk]

czyli ?
a) 3! * 4!
b) 4! * 3!
c) 4 * 6!
d) 3 * 6!
e) 4 * 3 * 5!
f) 4 * 3 * 5! hm..?

i czekam na tą wskazówkę

[mat_61]

Teraz a) do f) OK

g) ustawiamy 4 chłopców co możemy zrobić na ...(?) sposobów i teraz musimy pomiędzy nich (czyli w określonych z góry miejscach) ustawić 3 dziewczynki co możemy zrobić na ...(?) sposobów. Taka wskazówka Ci wystarczy?

[lisekpk]

4! po 3! ?? ;>
hehe no nie wiem

[mat_61]

Po prostu:

\(\displaystyle{ 4! \cdot 3!}\)

Zauważ, że takie ustawienie jest równoważne ustawieniom w zadaniach a) i b). We wszystkich tych przypadkach wszystkie miejsca dla chłopców i dziewcząt są z góry ustalone (choć różne w poszczególnych przypadkach), np. dla a) dz dz dz ch ch ch ch dla b) ch ch ch ch d d d dla g) ch d ch d ch d ch

[lisekpk]

No właśnie, ale z tego 4! * 3! wynika że mogą być ustawieni też właśnie tak: d d d ch ch ch ch, co jest sprzeczne z g) ;>

[mat_61]

To, że dla dwóch różnych przypadków jest taka sama ilość możliwości nic takiego nie oznacza!

A ta ilość jest taka sama bo w obydwu przypadkach masz z góry ustalone (choć w obu przykładach różne) miejsca posadzenia chłopców i dziewczynek.

Wyobraź sobie, że masz ponumerowane miejsca od 1 do 7. Żeby spełnić warunki zadania g) to chłopcy muszą być na miejscach 1, 3, 5, 7. Możesz ich posadzić na tych miejscach na 4! sposobów (to jest chyba jasne?). Gdybyś wypisał je po kolei to miałbyś 24 warianty. Teraz dla każdego z tych wariantów mógłbyś dopisać wszystkie możliwe usadzenia dziewcząt. Ponieważ one muszą siedzieć na miejscach 2, 4, 6, to możesz je posadzić na 3! (czyli 6) sposobów.

Dla przykładu a) odpowiedź jest taka sama, bo w uzasadnieniu wystarczy zamienić miejsca 1, 3, 5, 7 na 1, 2, 3, 4 natomiast miejsca 2, 4, 6 na 5, 6, 7. Ilość możliwości pozostanie oczywiście bez zmian.

[lisekpk]

No ok, już rozumiem
Dziękuję za pomoc.

BTW. Temat zamieściłem w złym dziale, więc jakby mod mógł przenieść to był bym wdzięczny.