Kombinatoryka - schemat postępowania

[kokosek]

Witam.
Pierwszy raz od czasów podstawówki nie wiem kompletnie jak ruszyć dany dział.
Robię zadania z kombinatoryki i z, dosłownie, każdym z nich mam problemy.
Strasznie jest to frustrujące, robić kolejne zadania (a właściwie spisywać z tablicy albo znajdywać odpowiedzi w internecie) nie rozumiejąc każdego z osobna.
Tak więc może ktoś, kto już opanował ten dział pomógłby mi znaleźć algorytm postępowania, dzięki któremu będę wiedział, co wykorzystać w danym zadaniu.
Znalazłem pewien algorytm, ale jest on wybrakowany:

Czym np. kierować się rozwiązując to zadanie:
"Do miejscowości, w której są cztery hotele przyjechało osiem osób, z których każda losowo wybiera hotel. Ile jest możliwości zakwaterowania tych osób tak, aby w dwóch hotelach znalazły się po trzy osoby, a w pozostałych dwóch po jednej osobie?"
Tak, umiem szukać (https://www.matematyka.pl/62949.htm), ale nie wiem, jak samemu dojść czego użyć w tym zadaniu (chociaż i tak nie rozumiem po co to \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\) we wzorze). Wg powyższego schematu (z linku) sprawdzamy: kolejność nie jest ważna, więc wybieramy kombinacje. I co dalej? Algorytm milczy. Może znalazłby się ktoś, kto mógłby mi pokazać dokładniejszą ścieżkę? Zdaję sobie sprawę, że jest to mało prawdopodobne, żeby coś takiego istniało, bo pewnie trzeba mieć intuicję, ale a nóż ktoś przedstawi jakiś logiczny tok myślenia. Zresztą... nie mam innego wyboru.

[Inkwizytor]

Zadajesz sobie 3 pytania:
1. czy liczy się kolejność (elementów, losowania)?
2. czy wylosowane elementy moga się powtarzać?
3. czy wykorzystujesz wszystkie elementy jakie masz do dyspozycji?

odp na pyt. 1
NIE -> kombinacje
TAK -> pyt. 2

odp. na pyt. 2
TAK -> wariacje z powtórzeniami
NIE -> pyt. 3

odp. na pyt. 3
NIE -> wariacje bez powtórzen
TAK -> permutacje

uwagi:
- permutacja jest szczególnym przypadkiem wariacji bez powtórzeń (gdy k=n)
- istnieją kombinacje z powtórzeniami i permutacje z powtórzeniami ale nie sądzę by Ciebie to dotyczyło

[kokosek]

Dzięki za odpowiedź, ale Twój schemat jest zawarty w algorytmie z linku.
Trochę edytowałem i dodałem do swojego posta podczas gdy napisałeś, jednak obrazek już był (usprawiedliwię się).
Co do uwag, permutacji z powtórzeniami jeszcze nie miałem, jednak kombinacje jak najbardziej.

[abc666]

kokosek, chodzi po prostu o to, że to zadanie jest "złożone", a algorytm który pokazałeś dotyczy przypadków elementarnych.
Zawsze możesz wykonać pomocniczy rysunek. Napisz jakieś zadanie z którym masz problem i napisz jak ty byś próbował je zrobić i w którym momencie nie wiesz co zrobić.

[kokosek]

No właśnie łudziłem się, że ktoś mi napisze jakiś dokładniejszy algorytm.
Np. jeśli w zadaniu pojawi się cośtam to trzeba będzie skorzystać z połączenia kombinacji i permutacji, jeśli cośtam2 to z wariacji bez powtórzeń z kombinacjami itd.
No ale trudno. Domyślałem się, że to by było zbyt piękne, żeby było prawdziwe. (jak to zrozumiem w ponad 80% to sam coś takiego napiszę dla klasy, bo wszyscy prawie mamy z tym problem; no ale to mnie jakoś nie pociesza)
Tak więc weźmy sobie zadanie: https://matematyka.pl/109404.htm.

Przytoczę tu treść, bo matematyka.pl coś mi się dziś (i koleżance) wolno ładuje:
Towary w ogromnym magazynie są kodowane w komputerze za pomocą ciągu liter i cyfr ( używamy cyfr 0,1,2 ...... 9). O ile więcej towarów można zakodować, jeśli kod składa sie z co najwyżej dwóch liter i co najwyżej trzech cyfr niż gdy składa sie z dwóch liter i trzech cyfr? Zakładamy , ze używamy alfabetu złożonego z 24 liter.

Tak więc oto jak ja to robię (oczywiście źle, więc fajnie by było, jakby ktoś mi pokazał jak inaczej powinienem na to spojrzeć):
Kombinacja co najwyżej dwóch liter i co najwyżej trzech cyfr różni się od kombinacji dwóch liter i trzech cyfr wszystkimi innymi kombinacjami (czyli: 0-0,0-1,0-2,0-3,1-0,1-1,1-2,1-3,2-0,2-1,2-2; i właśnie bez 2-3).
No i te kombinacje, to są opcje, opcje, czyli alternatywa, alternatywa, czyli sumujemy je:

Suma tego wszystkiego to 164719, więc "trochę za dużo".
W tej tabeli w sekcji wynik te czynniki nie będące 10 i 24 to ilość opcji umieszczenia cyfr i liter (permutacje z powtórzeniami).
Tak więc może ktoś się odnajdzie w tym morzu błędów.

[Inkwizytor]

To zadanie byó już na tym forum kilka razy: tu: 109404.htm najświeższa dyskusja
Mam pewne obiekcje co do niejednoznaczności treści tego zadania

[kokosek]

Jeśli przeczytasz uważnie mojego posta możesz w nim znaleźć ten link.
Czyli wg Ciebie dobrze to zrobiłem?

[Inkwizytor]

Tu mam pewne wątpliwości:
- czy mozna kodować towar brakiem kodu? -> pierwsza linijka
- czy jest to rozróżnialne 0, 00 i 000? Dla mnie to troche absurdalne ale powiedzmy...
- przedostatnia linijka -> chyba uciekło "x10"
- ostatnia linijka -> nie uwzględniasz różnego wzajemnego polożenia liter i cyfr, a w pozostałych to uwzględniasz
- dlaczego opuściłeś układ 2-3?

moja druga uwaga jest raczej związana z własnymi wątpliwościami, niż z ocena czy dobrze czy źle.

a link znowu mi umknął w potoku wpisu twego

[mat_61]

W ogóle to zadanie jest ułożone przez autora fatalnie. Prawdopodobnie coś innego myślał a coś innego pisał.
Nawet jeżeli pominiemy zasadne wątpliwości Inkwizytora przedstawione wyżej, to i tak ilość możliwości jest większa niż podaje autor w odpowiedzi. Oczywiście z treści zadania wynika, że jak najbardziej poprawny jest np. taki kod: d78a5 lub taki gf. Natomiast wg mnie po oczekiwanej odpowiedzi wynika, że autorowi chodziło o kod wg zasady:

#$

# - jedna lub dwie litery
$ - jedna, dwie lub trzy cyfry

W zadaniu chodzi oczywiście o różnicę pomiędzy takim "pełnym zestawem" a ilością kodów zawierających dwie litery i trzy cyfry, czyli wystarczy policzyć warianty:

jedna litera (24) + 1, 2, 3 cyfry (10+100+1000)
dwie litery (576) +1, 2 cyfry (10+100)

Razem:

\(\displaystyle{ 24 \cdot 1110+576 \cdot 110=90 000}\)

Jeżeli moje odgadnięcie intencji autora jest poprawne (a mam prawo tak przypuszczać) to poprawność treści tego zadania pozostawię bez komentarza

[kokosek]

Na początku usprawiedliwię się, że tak długo nie odpisywałem - miałem naprawdę sporo roboty, a nie, że mi nie zależy.

No więc: dzięki wielkie, za odpowiedź! Robiliśmy to na lekcji i się utwierdziłem w przekonaniu, że dobrze robię, więc pokombinowałem, co można by zrobić, żeby wyszedł poprawny wynik i udało mi się. (tylko podnoszę się na duchu, bo jutro mam sprawdzian, a naprawdę doceniam odpowiedź )

Mam problem z kolejnym zadaniem, jeśli nie zniechęciłem Was jeszcze. Wiem, jak je zrobić, jednak jest to sposób z lekcji i nie wiem, czemu mój i kolegi sposób nie działa. Przedstawię więc oba sposoby.
Zadanie:

W skład rady uczniów wchodzi po dwóch przedstawicieli klas IIa, IIb, IIc, IIia, IIIb. Na ile sposobów można wybrać pięcioosobowa delegację tej rady, jeśli przynajmniej jedna klasa ma być reprezentowana przez dwóch uczniów?

Dobry sposób:
Odejmujemy od liczby wszystkich kombinacji (czyli \(\displaystyle{ {10 \choose 5}}\)) liczbę sposobów przydzielenia do rady po jednym uczniu z każdej klasy - bo tylko ta opcja jest zaprzeczeniem tej z zadania (5 klas w każdej 2 opcje, więc \(\displaystyle{ 2^{5}}\)). Wynik: 252-32=220.
Mój, i nie tylko, sposób:
Z co najmniej jednej klasy muszą być 2 osoby, więc obliczamy, która klasa będzie reprezentowana przez dwóch reprezentantów (5 klas, czyli 5 opcji). Następnie zostały nam już tylko 3 miejsca i 8 osób, tak więc \(\displaystyle{ {8 \choose 3}}\). No i jest to koniunkcja, więc nie dodajemy, tylko mnożymy. Zatem: 5*56=280. Widać już na pierwszy rzut oka, że jest źle, gdyż ta liczba jest nawet większa niż liczba możliwych opcji.

Jeśli ktoś widzi błąd w rozumowaniu, to byłbym wdzięczny, gdyby się tym ze mną podzielił.

[abc666]

Niektóre możliwości liczysz dwa razy. Np jeśli w pierwszym etapie wybrałeś dwie osoby z jednej klasy a w drugim etapie z innej. Potem jak jest na odwrót znowu zliczasz tą możliwość.

[kokosek]

Dzięki, faktycznie.
Koledze udało się to zrobić odejmując te przypadki, ale nie pamiętam jak to zrobił, a jest to trochę skomplikowane, więc nie przetoczę tutaj jego rozwiązania.
Tak więc dzięki za pomoc, będzie mi dzięki wam łatwiej przejść to rachunku prawdopodobieństwa.