liczby czterocyfrowe

szumek1991 · Post autor: **szumek1991** » 3 paź 2010, o 22:32

zad.
ile jest liczb czterocyfrowych, w których cyfra tysięcy jest mniejsza od setek a cyfra setek jest mniejsza od cyfry dziesiątek?
Mi wychodzi 70 ale nie jest to poprawna odpowiedź. Powinno wyjść 840. Hmmm jak to zrobić?

Konikov · Post autor: **Konikov** » 4 paź 2010, o 00:41

Twój błąd polega na tym, że zapewne zliczasz 7 możliwości dla pierwszych trzech * 10 możliwości ostatniej liczby. Ale nie jest tylko 7 możliwości, odpowiedzią są wszystkie ciągi \(\displaystyle{ <a, b, c>}\), gdzie \(\displaystyle{ a<b<c}\) (razy 10).-- 4 października 2010, 00:47 --Tip:

Ukryta treść:

szumek1991 · Post autor: **szumek1991** » 4 paź 2010, o 08:03

a jak obliczyć te wszystkie ciągi ?-- 4 paź 2010, o 07:58 --dobra już doszedłem do tego dzięki za wskazówkę

b7b7 · Post autor: **b7b7** » 4 paź 2010, o 09:05

Fajne zadanie ;

Oznaczmy liczbę znakami: \(\displaystyle{ ABCD}\) (odpowiednio A-cyfra tysięcy...). Wiemy że C>B>A
Będziemy na stałe ustawiać cyfry \(\displaystyle{ ABC}\), cyfra \(\displaystyle{ D}\) da wówczas x 7 możliwości.
Zauważmy, że A nie może być cyfrą zero (nie będziemy mieli wtedy cyfry czterocyfrowej), a zatem cyfrą zero nie będzie też ani B ani C (wg warunków zadania \(\displaystyle{ C>B>A}\)).

Zajmijmy się cyfrą dziesiątek C.
Może ona przyjąć wartości: \(\displaystyle{ 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3}\)
Zastanówmy się po kolei przyjmując te cyfry:
dla \(\displaystyle{ C=9}\)
jeśli cyfra \(\displaystyle{ B}\) jest \(\displaystyle{ 8}\), cyfra \(\displaystyle{ A}\) może przyjąć \(\displaystyle{ 7}\) możliwości \(\displaystyle{ (7,6,5,4,3,2,1)}\)
jest \(\displaystyle{ 7}\), cyfra \(\displaystyle{ A}\) może przyjąć 6 możliwości \(\displaystyle{ (6,5,4,3,2,1)}\)
jest \(\displaystyle{ 6}\), cyfra \(\displaystyle{ A}\) może przyjąć 5 możliwości \(\displaystyle{ (5,4,3,2,1)}\)
jest \(\displaystyle{ 5}\), cyfra \(\displaystyle{ A}\) może przyjąć 4 możliwości \(\displaystyle{ (4,3,2,1)}\)
jest \(\displaystyle{ 4}\), cyfra \(\displaystyle{ A}\) może przyjąć 3 możliwości \(\displaystyle{ (3,2,1)}\)
jest \(\displaystyle{ 3}\), cyfra \(\displaystyle{ A}\) może przyjąć 2 możliwości \(\displaystyle{ (2,1)}\)
jest \(\displaystyle{ 2}\), cyfra \(\displaystyle{ A}\) może przyjąć 1 możliwości \(\displaystyle{ (1)}\) dla \(\displaystyle{ C = 9}\) ilość liczb czterocyfrowych: \(\displaystyle{ 7\cdot (1+2+3+4+5+6+7)=7\cdot 28}\)

Czyli przy \(\displaystyle{ C = 9}\) jest \(\displaystyle{ 7\cdot (1+2+3+4+5+6+7)=7\cdot 28}\) i analogicznie:
przy \(\displaystyle{ C = 8}\) jest \(\displaystyle{ 7\cdot (1+2+3+4+5+6)=7\cdot 21}\)
przy \(\displaystyle{ C = 7}\) jest \(\displaystyle{ 7\cdot (1+2+3+4+5)=7\cdot 15}\)
przy \(\displaystyle{ C = 6}\) jest \(\displaystyle{ 7\cdot (1+2+3+4)=7\cdot 10}\)
przy \(\displaystyle{ C = 5}\) jest \(\displaystyle{ 7\cdot (1+2+3)=7\cdot 6}\)
przy \(\displaystyle{ C = 4}\) jest \(\displaystyle{ 7\cdot (1+2)=7\cdot 3}\)
przy \(\displaystyle{ C = 3}\) jest \(\displaystyle{ 7\cdot (1)=7\cdot 1}\)
Ilość liczb \(\displaystyle{ = 7\cdot (28+21+15+10+6+3+1)=84\cdot 7=588}\)

Nie zgadzam się z tym, że trzeba cyfrę \(\displaystyle{ D}\) ustawiać na 10 sposobów. W przedstawionym podejściu do rozwiązania najpierw ustawialismy "na stałe" cyfry ABC, a cyfrę D bralismy dla każdego przypadku z 7 pozostałych cyfr (już razem z cyfrą zero). Skąd jest to zadanie? Proszę poprzedniego rozmówcę o komentaż .

Pozdrawiam
Beata
[ciach]

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 4 paź 2010, o 12:04

b7b7 pisze:Nie zgadzam się z tym, że trzeba cyfrę D ustawiać na 10 sposobów. W przedstawionym podejściu do rozwiązania najpierw ustawialismy "na stałe" cyfry ABC, a cyfrę D bralismy dla każdego przypadku z 7 pozostałych cyfr (już razem z cyfrą zero)

W zadaniu unie ma nic o tym, że cyfry nie mogą się powtarzać i dlatego na miejscu D może być dowolna cyfra z 10 (np. warunki zadania spełnia liczba 3676). Oczywiście ze względu na treść zadania różne muszą być cyfry A, B, C.

Dlatego też jak najbardziej poprawną odpowiedzią jest 840:

\(\displaystyle{ 10 \cdot (28+21+15+10+6+3+1)=840}\)

b7b7 · Post autor: **b7b7** » 4 paź 2010, o 12:44

he he he, słusznie...
cyfry mogą się powtarzać (przeczytałam zadanie jak ..), wiec jest tak jak napisałeś...
sorry, jest x 10

pozdrawiam
Beata

Konikov · Post autor: **Konikov** » 4 paź 2010, o 21:10

b7b7 pisze:Proszę poprzedniego rozmówcę o komentaż

Oto mój komentarz ;] Tak jak jest we wskazówce, the answer is:

Ukryta treść: