Symbol Newtona- liczba środkowa

[Martin91]

Witam! Mam problem z pewnym zadaniem.
Muszę znaleźć środkowy wyraz dla
\(\displaystyle{ ( \sqrt[3]{2} + \sqrt[6]{2} ) ^{888}}\)

Na razie wiem, że muszę obliczyć \(\displaystyle{ {888 \choose 445}}\)
I to jest mój problem. Jak to obliczyć?

[mat_61]

Raczej należy obliczyć:

\(\displaystyle{ {888 \choose 444}}\)

Proponuję zapisać w postaci ilorazu silni i tak zostawić, bo nie widzę, żeby można było coś bardziej sensownego z tym zrobić.

[Martin91]

Moim zdaniem trzeba obliczyć \(\displaystyle{ {888 \choose 445}}\) , bo 445 wyraz będzie pośrodku dlatego, że liczba wyrazów będzie nieparzysta. Np. \(\displaystyle{ (a+b)^{2}}\) ma 3, \(\displaystyle{ (a+b)^{4}}\) ma 5 lub \(\displaystyle{ (a+b)^{6}}\)ma 7.
Tak mi się zdaje.

W każdym razie dzięki, już wiem jak to zrobię.

[mat_61]

Moim zdaniem trzeba obliczyć \(\displaystyle{ {888 \choose 445}}\) , bo 445 wyraz będzie pośrodku dlatego, że liczba wyrazów będzie nieparzysta. Np. \(\displaystyle{ (a+b)^{2}}\) ma 3, \(\displaystyle{ (a+b)^{4}}\) ma 5 lub \(\displaystyle{ (a+b)^{6}}\)ma 7.
Tak mi się zdaje.

To, że 445 wyraz jest wyrazem środkowym to oczywiście prawda, tylko, że współczynnik przy tym wyrazie, to: \(\displaystyle{ {888 \choose 444}}\). Jest tak dlatego, że pierwszy współczynnik, to \(\displaystyle{ {888 \choose 0}}\) a nie \(\displaystyle{ {888 \choose 1}}\)

Zobacz to na Twoim przykładzie np. \(\displaystyle{ (a+b)^{4}}\)

\(\displaystyle{ (a+b)^{4}= {4 \choose 0} a^{4}+{4 \choose 1} a^{3}b+\textcolor{red}{{4 \choose 2} a^{2}b^{2}}+{4 \choose 3} ab^{3}+{4 \choose 4} b^{4}}\)

Jak widzisz środkowy składnik, to trzeci z kolei, ale współczynnik przy nim jest równy \(\displaystyle{ {4 \choose \textcolor{red}{2}}}\)