Jak kombinatorycznie dowieść poprawność równania??

tupatek · Post autor: **tupatek** » 8 lis 2006, o 22:13

Przerabiam wlasnie zadania z matematyki dyskretnej i nie potrafie dowieść kombinatorycznie poniższego równania.

\(\displaystyle{ x^\overline{n}= \sum\limits_{k}\left[\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right]*x^{k}}\)

ozn. \(\displaystyle{ x^\overline{n}=x*(x+1)*(x+2)*.....*(x+n-1)}\)

PanCiasteczko · Post autor: **PanCiasteczko** » 9 lis 2006, o 23:21

czy nie chodzi o cos takiego:
\(\displaystyle{ x*(x+1)*(x+2)*...*(x+n-1)=\sum\limits_{k=0}^{n}{n\choose k}*x^{k}}\)

jak tak to dla n=2 k=10 sie nie zgadza i tak, wiec nie wiem, jakos dziwnie to zapisales

tupatek · Post autor: **tupatek** » 10 lis 2006, o 01:03

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right]}\) - to jest liczba Stirlinga pierwszego rodzaju (liczba n permutacji o k cyklach)

Równanie jest dobre, dowodziłem je przez indukcje, jednak na dowód kombinatoryczny jakoś nie mam pomysłu :/