Ciekawe zadania: permutacje, kombinacje, podziały zbiorów

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
kamil142
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 27 kwie 2009, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

Ciekawe zadania: permutacje, kombinacje, podziały zbiorów

Post autor: kamil142 »

Hej wszystkim.
Mam problem z pewnymi zadankami. Czy ktoś mógłby mi je wytłumaczyć ? Niestety nie byłem na wykładach z kombinatoryki, gdyż 3 miesiące przeleżałem w szpitalu. Na sesji także nie byłem i teraz poprawka będzie. Dogadałem się z profesorem i powiedział, abym nauczył się przynajmniej 4 z 5 zadań, które znajdują się poniżej Jeśli ktoś byłby chętny mi pomóc to serdecznie z góry dziękuję

Oto zadania:

Zad. 1

Dane jest 6 różnych przedmiotów \(\displaystyle{ a_{1} , a_{2} ,.... , a _{6}}\) i 6 różnych pudełek \(\displaystyle{ p_{1}, p_{2}, ... , p_{6}}\) . Ile jest takich rozmieszczeń przedmiotów w pudełkach, jeden przedmiot do jednego pudełka, by żaden przedmiot \(\displaystyle{ a_{i}}\) nie trafił do pudełka \(\displaystyle{ b_{i}}\) ? Uogólnić rozwiązanie na przypadek n przedmiotów i n pudełek.


Zad. 2

Pokazać, że wśród 5200 osób, znajduje się co najmniej 743 urodzonych tego samego dnia tygodnia, co najmniej 15 urodzonych w tym samym dniu roku oraz co najmniej urodzonych w tym samym dniu tygodnia i tego samego dnia roku jednocześnie.

Zad. 3

Pokazać, że wśród 10 osób w wieku od 20 do 50 lat można wybrać:
a). trzy różne grupy osób (dopuszczamy to, że ta sama osoba będzie członkiem więcej niż jednej grupy)
b). dwie rozłączne grupy osób
takie, że sumy lat osób należących do tej samej grupy są takie same.

Zad. 4

W grze w brydża rozdaje się czterem różnych graczom po 13 kart z 52. Każda z 52 kart jest jednego z czterech kolorów. Znajdź liczbę rozdań tych kart, w których co najmniej jeden z graczy otrzyma 13 kart tego samego koloru.

Zad. 5 Udowodnić kombinatorycznie tożsamość:

\(\displaystyle{ (k+1) * {n \choose k+1} = (n-k)*( {n \choose k}}\)


Bardzo dziękuję za wszelką pomoc
Ostatnio zmieniony 20 wrz 2010, o 13:40 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Ciekawe zadania: permutacje, kombinacje, podziały zbiorów

Post autor: Afish »

5. \(\displaystyle{ (k+1) {n \choose k+1} = (k+1) \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} = \frac{n!}{k!(n-k-1)!} = \frac{n!(n-k)}{k!(n-k-1)!(n-k)} =(n-k) \frac{n!}{k!(n-k)!} = (n-k) {n \choose k}}\)
kamil142
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 27 kwie 2009, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

Ciekawe zadania: permutacje, kombinacje, podziały zbiorów

Post autor: kamil142 »

Dzięki za pomoc A może wiedziałbyś coś na temat pozostałych ? Jakaś podpowiedź czy coś? Nie wymagam całego rozwiązania, chociaż chętnie je ujrzę
Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Ciekawe zadania: permutacje, kombinacje, podziały zbiorów

Post autor: Afish »

4. Jeżeli dobrze liczę, to:
\(\displaystyle{ {13 \choose 13}\cdot {39 \choose 13} \cdot {26 \choose 13} \cdot {13 \choose 13}}\)
Bo pierwszy gracz musi wziąć wszystkie karty tego samego koloru, a pozostali mogą wybrać dowolne. Jeżeli gracze są rozróżnialni, to wynik będzie cztery razy większy.
math questions
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 923
Rejestracja: 23 sie 2009, o 18:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: .....
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 171 razy

Ciekawe zadania: permutacje, kombinacje, podziały zbiorów

Post autor: math questions »

zad 2
skorzystaj z zasady szufladkowej Dirichleta
przykład w roku masz ile tygodni? mamy 52 tygodnie w roku
bierzemy jednego człowieka i wrzucamy do jednego tygodnia i tak dalej więc mamy 100 osób w jednym tygodniu nastepnie tydzień ma siedem dni bierzemy jednego człowieka i wrzucamy do dnia tygodnia czyli mamy \(\displaystyle{ \frac{100}{7} \approx 14.28}\) a teraz \(\displaystyle{ 52 \cdot 14.28 \approx 742.85}\)
dalej se poradzisz:)
Awatar użytkownika
Konikov
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 497
Rejestracja: 13 mar 2008, o 18:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z całki tego świata
Podziękował: 66 razy
Pomógł: 44 razy

Ciekawe zadania: permutacje, kombinacje, podziały zbiorów

Post autor: Konikov »

1.

Jest to dokładnie liczba nieporządków ;] Nieporządek - permutacja bez punktów stałych (żaden element nie zostaje w tym samym miejscu). Google it, a także
ODPOWIEDZ