zad. uczniowie klasy mat-inf. muszą uczęszczać na fakultety z trzech przedmiotów, w tym z co najmniej dwóch przedmiotów ścisłych. Wyboru dokonują spośród dziesięciu przedmiotów, wśród których są cztery przedmioty ścisłe. Oblicz, na ile sposobów może wybrać fakultety każdy uczeń tej klasy.
ja rozumiem to w ten sposób że mam 4 miejsca _ _ _
na pierwszych dwóch rozważam możliwości przedmiotów ścisłych, więc mam 4 i 3 , lub po prostu wariacja bez powtórzeń gdzie n= 4 a k=2 a na ostatnim miejscu mam 6 przedmiotów ogólnych + 2 przedmioty ścisłe, które nie zostały jeszcze wybrane , obliczając wg. mnie wychodzi :
\(\displaystyle{ 4 \cdot 3 \cdot (2+6)= 12 \cdot 8 = 96}\)
niestety moja odpowiedź nie zgadza się z podaną w podręczniku (powinno być 40 możliwości), więc proszę o pomoc.
sposoby wyboru
-
szumek1991
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 00:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poland
- Podziękował: 10 razy
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
sposoby wyboru
W treści zadania masz powiedziane, że "uczniowie klasy mat-inf. muszą uczęszczać na fakultety z trzech przedmiotów, w tym z co najmniej dwóch przedmiotów ścisłych".
Oznacza to, że taki uczeń może sobie wybrać 2 lub 3 przedmioty ścisłe.
Podzielmy najpierw przedmioty - mamy 4 ścisłe i 6 pozostałych.
W tym przypadku nieważna jest kolejność wyboru przedmiotów, dlatego nie będziemy korzystać z wariacji bez powtórzeń, tylko z kombinacji.
I sytuacja - uczeń wybiera 2 z 4 przedmiotów ścisłych i 1 z 6 przedmiotów pozostałych.
Czyli \(\displaystyle{ {4 \choose 2} \cdot {6 \choose 1} = 6 \cdot 6 =36}\)
II sytuacja - uczeń wybiera 3 z 4 przedmiotów ścisłych i 0 z 6 przedmiotów pozostałych.
Tutaj mamy \(\displaystyle{ {4 \choose 3} \cdot {6 \choose 0 } = 4}\)
Uczeń wybiera albo I-szą, albo II-gą sytuację i stąd wychodzi, że ma 40 możliwości.
...
Ogólnie jeżeli masz zadanie w stylu "masz do dyspozycji cyfry 123. Ustawić je tak, żeby na początku było 3. Na ile sposobów możesz ułożyć cyfry jeżeli nie mogą się powtarzać?" to korzystasz z wariacji bez powtórzeń (istotna jest kolejność ułożenia cyfr - rozpatrujesz 1.przypadek - 312 i 2.przypadek - 321)
Jeżeli dostajesz zadanie typu "z talii 6 kart, wśród których są 3 czarne i 3 czerwone, wyciągasz dwie karty. Na ile sposobów możesz wyciągnąć dwie czarne karty?" korzystasz z kombinacji (nieważna kolejność wyboru kart, ważne, by była czarna). Przecież to nieistotne, czy wyciągasz najpierw czarną dziewiątkę , potem czarną dziesiątkę , czy odwrotnie. Liczy się tylko końcowy efekt (masz mieć 2 czarne karty). I to twoje zadanie jest problemem tego typu, dlatego korzystamy tutaj z kombinacji.
Oznacza to, że taki uczeń może sobie wybrać 2 lub 3 przedmioty ścisłe.
Podzielmy najpierw przedmioty - mamy 4 ścisłe i 6 pozostałych.
W tym przypadku nieważna jest kolejność wyboru przedmiotów, dlatego nie będziemy korzystać z wariacji bez powtórzeń, tylko z kombinacji.
I sytuacja - uczeń wybiera 2 z 4 przedmiotów ścisłych i 1 z 6 przedmiotów pozostałych.
Czyli \(\displaystyle{ {4 \choose 2} \cdot {6 \choose 1} = 6 \cdot 6 =36}\)
II sytuacja - uczeń wybiera 3 z 4 przedmiotów ścisłych i 0 z 6 przedmiotów pozostałych.
Tutaj mamy \(\displaystyle{ {4 \choose 3} \cdot {6 \choose 0 } = 4}\)
Uczeń wybiera albo I-szą, albo II-gą sytuację i stąd wychodzi, że ma 40 możliwości.
...
Ogólnie jeżeli masz zadanie w stylu "masz do dyspozycji cyfry 123. Ustawić je tak, żeby na początku było 3. Na ile sposobów możesz ułożyć cyfry jeżeli nie mogą się powtarzać?" to korzystasz z wariacji bez powtórzeń (istotna jest kolejność ułożenia cyfr - rozpatrujesz 1.przypadek - 312 i 2.przypadek - 321)
Jeżeli dostajesz zadanie typu "z talii 6 kart, wśród których są 3 czarne i 3 czerwone, wyciągasz dwie karty. Na ile sposobów możesz wyciągnąć dwie czarne karty?" korzystasz z kombinacji (nieważna kolejność wyboru kart, ważne, by była czarna). Przecież to nieistotne, czy wyciągasz najpierw czarną dziewiątkę , potem czarną dziesiątkę , czy odwrotnie. Liczy się tylko końcowy efekt (masz mieć 2 czarne karty). I to twoje zadanie jest problemem tego typu, dlatego korzystamy tutaj z kombinacji.