Permutacje, dwa zadanka do rozwiązania

[ewa0811]

Zad.1. Z cyfr \(\displaystyle{ 2,4,5,6,7}\) układamy liczby pięciocyfrowe podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\),cyfry nie mogą się powtórzyć. Ile takich liczb można utworzyć?


Zad.2. Liczby \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5}\) ustawiamy losowo w ciąg , ile jest możliwości ustawienia tak aby
a) liczba \(\displaystyle{ 4}\) stała na pierwszym miejscu
b) liczba \(\displaystyle{ 4}\) stała na pierwszym miejscu zaś \(\displaystyle{ 1}\) na ostatnim
c) pierwsze trzy liczby były nieparzyste

za pełne rozwiązanie ogromne dzięki

[loitzl9006]

Zad1
Własność:
Żeby liczba była podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\), dwie ostatnie jej cyfry tworzą liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 4}\).

Możliwe kombinacje:
- \(\displaystyle{ ***24}\)
- \(\displaystyle{ ***52}\)
- \(\displaystyle{ ***64}\)
- \(\displaystyle{ ***72}\)
- \(\displaystyle{ ***76}\)

Te gwiazdki oznaczają pozostałe cyfry w liczbie, które ustawiamy w sposób dowolny, czyli na \(\displaystyle{ 3!}\)sposobów, czyli \(\displaystyle{ 6}\) sposobów)

\(\displaystyle{ ***24}\) na \(\displaystyle{ 6}\) sposobów, \(\displaystyle{ ***52}\) na \(\displaystyle{ 6}\) sposobów, \(\displaystyle{ ***64}\) ... itd.

To oznacza, że można utworzyć \(\displaystyle{ 30}\) takich liczb.

Zad2

a) \(\displaystyle{ 4****}\)
Cztery pozostałe cyfry ustawiamy w sposób dowolny, czyli na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów.

b) \(\displaystyle{ 4***1}\)
Trzy pozostałe cyfry ustawiamy w sposób dowolny, czyli na \(\displaystyle{ 3!}\) sposobów.

c) W zbiorze mamy \(\displaystyle{ 3}\) liczby nieparzyste, które można ustawić na \(\displaystyle{ 3!}\) sposobów, ale to nie koniec, bo mamy jeszcze liczby \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 4}\), które muszą być ustawione na końcu, na \(\displaystyle{ 2!}\) sposobów (\(\displaystyle{ ***24}\) i \(\displaystyle{ ***42}\)).

Ogólnie, możliwości ustawienia jest\(\displaystyle{ 3! \cdot 2! = 12}\)

[dawix10]

Odnośnie zad.1

Własność:
Żeby liczba była podzielna przez 4, dwie ostatnie jej cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

Możliwe kombinacje:
- ***24
- ***52
- ***64
- ***72
- ***76

Zapomniałeś jeszcze o
- \(\displaystyle{ ***56}\)

Także takich kombinacji jest \(\displaystyle{ 6}\), a prawidłowym wynikiem zadania jest możliwość utworzenia \(\displaystyle{ 3!\cdot 6=36}\) liczb.

[loitzl9006]

rzeczywiście - dzięki za poprawkę lepiej późno niż wcale