liczba możliwości utworzenia liczb

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
dżi-unit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 13 paź 2008, o 18:01
Płeć: Kobieta

liczba możliwości utworzenia liczb

Post autor: dżi-unit »

Z cyfr od 1 do 8 tworzymy liczby sześciocyfrowe. Ile można utworzyć takich liczb, w których cyfra jeden występuje co najmniej 3 razy, a pozostałe cyfry są różne między sobą? wiem mniej wiecej jak to zrobić, ale nie wychodzi mi jak w odp.
wawek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 795
Rejestracja: 2 cze 2010, o 08:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 66 razy

liczba możliwości utworzenia liczb

Post autor: wawek91 »

A jaka jest odpowiedź? Wg moich obliczeń wychodzi, że takich liczb można utworzyć 5307.
Robiłem to tak:

\(\displaystyle{ 4! \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 + 3! \cdot 7 \cdot 6 + 2! \cdot 7 + 1 = 5307}\)
Lbubsazob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4672
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

liczba możliwości utworzenia liczb

Post autor: Lbubsazob »

Wg mnie to powinno być tak:
1) Cyfra 1 występuje 3 razy
Żeby w 6 cyfrach były 3 jedynki, można je ustawić na \(\displaystyle{ C_{6}^{3}= \frac{6!}{3!3!} =20}\) sposobów, a te 3 brakujące cyfry wybieramy z 7 (bo cyfra 1 już nam odpada), czyli \(\displaystyle{ V_7^3= \frac{7!}{4!}=5 \cdot 6 \cdot 7=210}\) sposobów.
Razem \(\displaystyle{ 210 \cdot 20=4200}\)

2) Cyfra 1 występuje 4 razy
Żeby na 6 cyfr były 4 jedynki, to 2 pozostałe cyfry muszą być inne. Istnieje \(\displaystyle{ C_6^2= \frac{6!}{4!2!}=15}\) takich przypadków. Można te 2 cyfry wybrać z 7, czyli \(\displaystyle{ V_7^2= \frac{7!}{5!} =42}\) sposoby.
Razem \(\displaystyle{ 15 \cdot 42=630}\)

3) Cyfra 1 występuje 5 razy
W takim razie ta cyfra, która nie jest jedynką, może stać na \(\displaystyle{ C_6^1=6}\) miejscach i można ją wybrać na \(\displaystyle{ V_7^1=7}\) sposobów.
Razem \(\displaystyle{ 7 \cdot 6=42}\)

4) Cyfra 1 występuje 6 razy
No to oczywiście jest jedna taka liczba, \(\displaystyle{ 111111}\).

Razem \(\displaystyle{ 4873}\) takich liczb.
dżi-unit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 13 paź 2008, o 18:01
Płeć: Kobieta

liczba możliwości utworzenia liczb

Post autor: dżi-unit »

w odp jest \(\displaystyle{ 7638}\), ale mi też wyszło \(\displaystyle{ 4873}\).
ODPOWIEDZ