1. Rozważmy poniższe rozumowanie:
Jeśli dostanę się na wymarzony kierunek i będę porządnie się uczył to go ukończę. Jeśli ukończę wymarzony kierunek to będę miał ciekawą pracę. Nie będę miał ciekawej pracy. Zatem albo nie dostanę się na wymarzony kierunek albo nie będę porządnie się uczył
(a) Zapisać je za pomocą symboliki logicznej i zbadać jego poprawność przy pomocy metody zero-jedynkowej
(b) Jeśli rozumowanie jest poprawne, to napisać dowód formalny.
2. Na zbiorze \(\displaystyle{ \{5,6,7,8\}}\) określono relację \(\displaystyle{ R}\) warunkiem: \(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow min(x,6)=y}\).
(a) Wypisać wszystkie pary należące do relacji \(\displaystyle{ R}\)
(b) Zbadać, czy \(\displaystyle{ R}\) jest zwrotna, symetryczna, przechodnia.
3. Rozważmy funkcję boole'owską \(\displaystyle{ f(x,y,z)}\) która przyjmuje wartość 1 wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie jedna z liczb \(\displaystyle{ x, y, z}\) ma wartość 1.
(a) Narysować tabelkę funkcji \(\displaystyle{ f}\).
(b) Przedstawić \(\displaystyle{ f(x,y,z)}\)przy pomocy \(\displaystyle{ \vee , \wedge , \neg}\)
(c) Naszkicować sieć boole'owską realizującą tę funkcję.
4. Załóżmy,że relacje \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ S}\) na tym samym zbiorze są symetryczne. Czy relacja \(\displaystyle{ R\cup S}\) musi być symetryczna. Wykazać i podać kontrprzykład.
5. Wykazać, że czterocyfrowa liczba o cyfrach \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
6. Rozwiązać równanie kongruencyjne \(\displaystyle{ 39x=1(mod1286)}\).
7. W zbiorze liczb całkowitych \(\displaystyle{ Z}\) określamy relację \(\displaystyle{ R}\) warunkiem\(\displaystyle{ mRn \Leftrightarrow m^{2}= n^{2}}\)
(a) Sprawdzić, że relacja \(\displaystyle{ R}\) jest relacją równoważności.
(b) Opisać klasy równoważności tej relacji. Ile ich jest?
8. Wyznaczyć: \(\displaystyle{ 2^{3948} \ i \ 2^{3941} mod 3942}\),wiedząc, że 3943 jest liczbą pierwszą.
Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań
Pozdrawiam!
