Permutacje - ilośc 6-cyfrowych liczb ze stałymi jednościami.

[Aldo]

Mam problem z zadaniem i nie wiem czy dobrze kombinuję. Oto zadanie:
Ile różnych liczb 6-cio cyfrowych można utworzyć z cyfr 0,1,2,3,4,5, aby na miejscu jedności stały cyfry 3 i4.
ja rozwiązałem to tak:
Ogólna liczba wszystkich liczb 6-cio cyfrowych:
\(\displaystyle{ 6!=720}\)
Liczby 6-cio cyfr. z 3 na końcu:
\(\displaystyle{ 5!=120}\)
Liczby 6-cio cyfr. z 4 na końcu:
\(\displaystyle{ 5!=120}\)
Liczby 6-cio cyfrowe z 3 i 4 na końcu:
\(\displaystyle{ 600-120 \cdot 2=360}\)

[mat_61]

Niezbyt dobrze:

Ogólna liczba wszystkich liczb 6-cyfrowych z cyfr {0;1;2;3;4;5}

Na pierwszym miejscu jedna cyfra z {1;2;3;4;5}
na pozostałych miejscach dowolne cyfry z {0;1;2;3;4;5}, czyli:

\(\displaystyle{ 5 \cdot 6^{5}=...}\)

itd.

[Aldo]

A jak to obliczyć poprzez Permutacje? Zresztą nie bardzo rozumiem, dlaczego tak? Czyżby 5 to była liczba cyfr pierwszej liczby (tak myślę), a 6 to liczba cyfr, ale dlaczego do potęgi 5?
Przykładowo z cyfr {1,2,3,4} uzyskamy 24 rożne liczby 4-cyfrowe, bo
\(\displaystyle{ P_{4}=4!=24}\). Ale jak rozwiązać to, bo na pewno "Ogólna liczba wszystkich liczb 6-cio cyfrowych:" się zgadza.

[mat_61]

Przykładowo z cyfr {1,2,3,4} uzyskamy 24 rożne liczby 4-cyfrowe, bo
\(\displaystyle{ P_{4}=4!=24}\).

A skąd taki wniosek? Dlaczego liczysz to jako permutacje? Przecież taka liczba to ciąg 4-elementowy utworzony ze zbioru 4-elementowego. Są to więc wariacje z powtórzeniami.

Wg Twoich obliczeń jest sześć 3-cyfrowych liczby składających się z cyfr {1;2;3}. Ale tak nie jest:

111
112
113
121
122
123
211
212
213
221
222
223
...itd. czyli jest ich znacznie więcej.

Zresztą nie bardzo rozumiem, dlaczego tak? Czyżby 5 to była liczba cyfr pierwszej liczby (tak myślę), a 6 to liczba cyfr, ale dlaczego do potęgi 5?

5 na początku jest dlatego, że jako pierwsza może być wybrana dowolna liczba z pięciu {1;2;3;4;5} (liczba 6-cyfrowa nie może mieć na pierwszym z sześciu miejsc zera). Takich możliwości wyboru jest 5. Formalnie może być to np. waricja 1-elementowa ze zbioru 5-elementowego (*).

Natomiast pozostałe 5 cyfr to dowolny ciąg 5-elementowy utworzony z cyfr {0;1;2;3;4;5} - czyli jest to 5-elementowa wariacja z powórzeniami utworzona ze zbioru 6-elementowego.

(*)Dla zbiorów 1-elementowych kombinacja, wariacja z powórzeniami, wariacja bez powtórzeń są równoważne ponieważ dla jednego elementu nie mają zastosowania takie określenia jak kolejność, czy powtórzenia.