Wykaż, ze silnia + silnia jest równa silni.

[Aldo]

Witajcie. mam taki przykład
\(\displaystyle{ {n\choose k} + {n\choose k+1} = {n+1\choose k+1}}\)
Problem w tym, że sie trochę zagubiłem. Doszedłem do tego: (mam nadzieję, ze dobrze wpisałem).
\(\displaystyle{ {n\choose k} + {n\choose k+1} = \frac{n!}{k! * (n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!*(n-k-1)!} = \frac{n!*(k+1)!*(n-k-1)+n!*k!*(n-k)!}{k!*(n-k)!*(k+1)!*(n-k-1)!}}\)
I teraz mam pytanie, co dalej? Skraca się tu coś, czy nie, bo nie mam pomysłu jak ma wyjść że to jest równe \(\displaystyle{ {n+1 \choose k+1}}\). Dziękuję z góry za pomoc.

[irena_1]

\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\frac{n!(k+1)}{k!(k+1)(n-k)!}+\frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k-1)!(n-k)}=\frac{n!(k+1)+n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!}=\frac{n!(n+1)}{(k+1)!(n-k)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}= {n+1 \choose k+1}}\)

[Fingon]

Dowód tego, że \(\displaystyle{ {n\choose k} + {n\choose k+1} = {n+1\choose k+1}}\), jest przyjemniejszy jeśli przeprowadzi się go z wiedzą zerową, korzystając z tego, że \(\displaystyle{ {n\choose k}}\), to ilość k elementowych podzbiorów zbioru n elementowego.

Główny pomysł dowodu: mamy n elementowy zbiór i wybieramy k elementowe podzbiory, teraz zabieramy jeden element i liczymy k elementowe podzbiory ponownie, następnie dokładamy wcześniej zabrany element i liczymy ile nowych podzbiorów nam przybyło, całość przyrównujemy i mamy tezę.

[Aldo]

Wybaczcie, ale nie za bardzo to załapałem. irena_1, mogłabyś powiedzieć skąd jest:
\(\displaystyle{ \frac{n!(k+1)}{k!(k+1)(n-k)!}+\frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k-1)!(n-k)}}\)
To co zrobiłem jest źle? Kompletnie nie mam pojęcia skąd jest (k+1) i (n-k) w licznikach. Oraz dlaczego
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}= {n+1 \choose k+1}}\)

[irena_1]

1)
sprowadziłam oba ułamki do wspólnego mianownika. \(\displaystyle{ (k+1)!=k!\cdot\ (k+1)}\)
\(\displaystyle{ (n-k)!=(n-k-1)!\cdot(n-k)}\)

2)
Sprawdź:
\(\displaystyle{ {n+1\choose k+1} =\frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot[(n+1)-(k+1)]!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}}\)

[Aldo]

2 zrozumiałem, co do pierwszego to owszem zgadza się to co napisałaś, ale nadal nie mogę za bardzo pojąc skąd w licznikach \(\displaystyle{ n!(n-k)}\)i \(\displaystyle{ n!(k+1)}\). Mianownik zrozumiałem, ale licznika tak trochę mi świta, ale ciągle za mało. Dlaczego jest, a nie\(\displaystyle{ n!(n-k)!}\)i \(\displaystyle{ n!(k+1)!}\)? Bo jak podstawiałem to sobie to tak mi wyszło. Nie wiem też czy dobrze to rozumiem, ale to wyjdzie coś takiego tak:
\(\displaystyle{ (n-k-1)! \cdot (n-k)=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-k-1) \cdot (n-k)=(n-k)!}\)

Możecie też to sprawdzić:
\(\displaystyle{ n! \cdot (n+1)=(n+1)!}\)
\(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-1)! \cdot n} =1}\), bo \(\displaystyle{ \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n}= \frac{1}{1}}\)

[irena_1]

Nie wiem, czy o to chodzi, ale sprowadzałam oba ułamki do wspólnego mianownika.
Pierwszy ułamek ma w mianowniku: \(\displaystyle{ k!\cdot(n-k)!}\), a drugi ułamek ma w mianowniku \(\displaystyle{ (k+1)!\cdot(n-k-1)!}\)

Wspólny mianownik musi być zatem równy: \(\displaystyle{ (k+1)!\cdot(n-k)!}\).

Pierwszy ułamek rozszerzam więc o czynnik \(\displaystyle{ (k+1)}\) i mam w mianowniku \(\displaystyle{ k!\cdot(k+1)\cdot(n-k)!=(k+1)!\cdot(n-k)!}\).
Licznik tego ułamka będzie więc równy \(\displaystyle{ n!\cdot(k+1)}\)

Drugi ułamek rozszerzam przez \(\displaystyle{ (n-k)}\) i mam w mianowniku \(\displaystyle{ (k+1)!\cdot(n-k-1)!\cdot(n-k)=(k+1)!\cdot(n-k)!}\).
Licznik tego ułamka będzie więc równy \(\displaystyle{ n!\cdot(n-k)}\)