Wzor rekurencyjny na wzor ogolny

[Gaculek]

Witam,
chcialbym z podanego wzoru rekurencyjnego otrzymac wzor ogolny.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=1 \\ a_{n+1}=2a_{n}+(-1)^{n} \end{cases}}\)

[Qń]

Można to zrobić na przykład metodą przewidywań, przewidując rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ a_n=A \cdot 2^n +B \cdot (-1)^n}\).

Albo podzielić równanie stronami przez \(\displaystyle{ 2^{n+1}}\), podstawić \(\displaystyle{ x_n=\frac{a_n}{2^n}}\) i zauważyć, że wtedy:
\(\displaystyle{ x_n= \frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}- \dots + \frac{(-1)^{n}}{2^{n}}}\)

Q.

[Gaculek]

Dziekuje za bardzo szybka odpowiedz.
Nie rozumiem tylko dlaczego w metodzie 2. jest:

\(\displaystyle{ x_n= 1- \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}+ \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}}\)

(wtedy \(\displaystyle{ x_n=\frac{a_n}{2^n}}\) nie zgadza sie dla n=1)

A nie:

\(\displaystyle{ x_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\dots-(-\frac{1}{2})^n}\)

[Qń]

Oczywiście masz rację, już poprawiłem.

Q.