Funkcja tworząca.

[Albatross201]

Witam. Mam wyznaczyć funkcje tworzącą dla takiego ciągu: \(\displaystyle{ n^{4}}\). Czytałem coś o tych funkcjach ale mało co do mnie przemawia. Mógłby ktoś mi to dobrze wyjaśnić? Od czego zacząć? jaki jest algorytm postępowania? etc.

[Qń]

Funkcja tworząca ciągu \(\displaystyle{ [a_n]}\) to \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n}\). Tutaj będzie to więc:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} n^4x^n}\)
Wiemy też, że zachodzą równości:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^n}\)
oraz po różniczkowaniu powyższej kolejno:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{(1-x)^3}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)x^n}\)
itd.

Spróbuj z tego coś wywnioskować.

Q.

[xiikzodz]

Bez różniczkowania szeregów można tak:

Niech \(\displaystyle{ f:(0,1)\to\mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty n^4x^n}\)

Wówczas

\(\displaystyle{ (1-x)f(x)=\sum_{n=0}^\infty (n^4-(n-1)^4)x^n=\sum_{n=1}^\infty(4n^3-6n^2+4n-1)x^n}\)

czyli wystarczy wyznaczyć funkcje tworzące ciągów \(\displaystyle{ n^3,n^2,n,1}\), co robimy dokładnie tak samo:

\(\displaystyle{ (1-x)\sum_{n=0}^\infty n^3x^n=\sum_{n=1}^\infty(3n^2-3n+1)x^n}\)

\(\displaystyle{ (1-x)\sum_{n=0}^\infty n^2x^n=\sum_{n=1}^\infty(2n-1)x^n}\)

\(\displaystyle{ (1-x)\sum_{n=0}^\infty nx^n=\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac{x}{1-x}}\)

Skąd:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}}\)

co pozwoli wyznaczyć \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty n^2x^n}\) i po kolejnych dwóch krokach z coraz dłuższymi rachunkami szukaną funkcję tworzącą.