Urny, rzut monetą, drużyna piłkarska & producenci lamp

[Ushio]

Mam ogromną prośbę, nie przepadam za statystyką, a muszę ją ogarnąć z tym, że najlepiej uczy mi się na rozwiązanych przykładach. Sama nie wiem czy rozwiążę je poprawnie, więc może ktoś mi pomoże:)
Plisss!

1. W urnie znajduje się 10 kul: 5 zielonych, 3 czerwone i 2 niebieskie. Losujemy bez zwrotu 3 kule. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul znajdą się dwie kule tego samego koloru.

2. W pierwszej urnie są trzy kule białe i dwie czarne, a w drugiej są cztery czarne i jedna biała. Rzucamy kostką. Jeżeli wypadnie więcej niż 4 oczka, to losujemy kulę z pierwszej urny, w przeciwnym razie losujemy kulę z drugiej urny. Jeśli wiadomo, że wylosowano kulę białą to jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodziła ona z pierwszej urny? Określ zdarzenia, podaj wzory i oblicz szukane prawdopodbieństwa.

3. W zbiorze 10 monet jedna ma po obu stronach orły, pozostałe są prawidłowe. Rzucono 2-krotnie jedną losowo wybraną monetą i otrzymano 2 orły. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że rzucano monetą z orłami po obu stronach.

4. Wiedząc, że w pewnej drużynie piłkarskiej kontuzja zdarza się każdemu z graczy średnio raz na 10 meczów, wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, ze podczas meczu spośród 5 wybranych piłkarzy:
a) wszyscy ulegną kontuzji,
b)ulegnie kontuzji nie więcej niż dwóch zawodników.

5. Zakłady radiowe sprowadzają lampy radiowe do dwóch producentów. Pierwszy z nich pokrywa zapotrzebowanie w 75%. Wiadomo, ze 1/10 lamp dostarczonych przez pierwszego producenta ma duży rozrzut parametrów. W przypadku drugiego producenta duży rozrzut ma co 25 % lamp.
Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że losowa wzięta lampa
a) została dostarczona przez drugiego producenta,
b) została wyprodukowana przez pierwszego producenta i charakteryzuje się niedużym rozrzutem parametrow
c)charakteryzuje się niedużym rozrzutem parametrów
d) o której wiemy, ze posiada niewielki rozrzut parametrów, została wyprodukowana przez pierwszego producenta.

Określ zdarzenia, podaj wzory i oblicz szukane prawdopodobieństwa.

(możliwe, że pomyliłam działy... to mogło być małe niedopatrzenie z mojej strony)

[pajong8888]

1. Nie jestem pewien do końca jak interpretować to zadanie. Czy muszą być dokładnie 2 kule tego samego koloru, czy co najmniej dwie (bo jak 3 są tego samego koloru to też można znaleźć dwie tego samego koloru)

Opcja 1. co najmniej 2 tego samego koloru:

W takim przypadku trzeba obliczyć 1- prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego ( wszystkie w innym kolorze).

\(\displaystyle{ P(A)=1-\frac{3!\cdot 5\cdot 3\cdot 2}{10\cdot 9\cdot 8}=\frac{3}{4}}\)

Opcja 2. dokładnie dwie tego samego koloru.

Wykorzystamy opcję 1 i odejmiemy od niej prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 3 kul tego samego koloru ( od razu wiadomo, że 3 niebiskich nie będzie)

\(\displaystyle{ P(B)=P(A)-\frac{5\cdot 4\cdot 3+3!}{10\cdot 9\cdot 8}=\frac{79}{120}}\)

-- 30 sie 2010, o 18:48 --

2.
Na pierwszy rzut oka widzę konieczność korzystania ze wzoru Bayesa.

\(\displaystyle{ U_1}\) zdarzenie, że kulę wylosowaliśmy z pierwszej urny
\(\displaystyle{ U_2}\) zdarzenie, że kulę wylosowaliśmy z drugiej urny
\(\displaystyle{ B}\)- zdarzenie, w którym wylosowano kulę białą

Trzeba będzie obliczyć \(\displaystyle{ P(U_1|B)}\)
Ze wzoru Bayesa:
\(\displaystyle{ P(U_1|B)=\frac{P(B|U_1)\cdot P(U_1)}{P(B)}}\)

\(\displaystyle{ P(U_1)=\frac{1}{3}}\) prawdopodobieństwo wylosowania 5,6
\(\displaystyle{ P(B|U_1)=\frac{3}{5}}\)
Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite
\(\displaystyle{ P(B)=P(B|U_1)\cdot P(U_1)+P(B|U_2)\cdot P(U_2)=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}}\)

Wstawiając te wartości do wzoru powyższego:
\(\displaystyle{ P(U_1|B)=\frac{\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{5}}\)

[Ushio]

Dziękuję, dziękuję, dziękuję!!!

[pajong8888]

Trzecie jest bardzo analogiczne do drugiego zadania, tez tu będzie trzeba skorzystać ze wzoru Bayesa.
Niech
\(\displaystyle{ A}\) oznacza zdarzenie rzucenia 2 orłów w dwóch rzutach
\(\displaystyle{ M_1}\) zdarzenie rzucania normalną monetą
\(\displaystyle{ M_2}\) zdarzenie rzucania monetą z dwoma orłami

Trzeba obliczyć

\(\displaystyle{ P(M_2|A)=\frac{P(A|M_2}\cdot P(M_2)}{P(A)}}\)

\(\displaystyle{ P(M_2)=\frac{1}{10}}\)
\(\displaystyle{ P(A|M_2)=1}\)
\(\displaystyle{ P(A)=P(A|M_1)\cdot P(M_1)+P(A|M_2)\cdot P(M_2)=\frac{1}{4}\cdot {9}{10}+1\cdot \frac{1}{10}=\frac{13}{40}}\)

Więc:
\(\displaystyle{ P(M_2|A)=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{13}{40}}=\frac{4}{13}}\)

-- 30 sie 2010, o 19:09 --

4 chyba nie wydaje się trudne, albo jest jakiś haczyk:)

a)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{10^5}}\) (ponieważ prawdopodobieństwo kontuzji każdego gracza jest 1/10)
B) czyli ulegnie kontuzji 0 albo 1 albo 2.
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{9^5}{10^5}+ {5 \choose 1}\frac{1\cdot 9^4}{10^5}+ {5 \choose 2}\frac{1^2\cdot 9^3}{10^5}=\frac{99144}{100000}}\)-- 30 sie 2010, o 19:30 --W piątym mam nadzieję że zrozumiałem treść:)
A- zdarzenie w którym wybrana lampa pochodzi od pierwszego producenta
B- drugiego
D- duży rozrzut
N- nieduży rorzut
a) \(\displaystyle{ P(B)=1-P(A)=25%}\)
b) \(\displaystyle{ P(N|A)\cdot P(A)=\frac{9}{10}\cdot \frac{3}{4}=\frac{27}{40}}\)
c) \(\displaystyle{ P(N)=P(N|A)\cdot P(A)+P(N|B)\cdot P(B)=\frac{27}{40}+\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{69}{80}}\)
d) \(\displaystyle{ P(A|N)=\frac{P(N|A)\cdot P(A)}{P(N)}=\frac{\frac{27}{40}}{\frac{69}{80}}=\frac{54}{69}=\frac{18}{23}}\)