Kolejne moje zadanie to zadanie , ktorego własciwie niepotrafi i licze bardzo na waszą pomoc, czy wskazówki.
Pokaż ,że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k(k-1){n\choose k } = n(n-1)2^{n-2}}\)
Dowód, suma z dwumianem Newtona
-
withdrawn
- Użytkownik
- Posty: 282
- Rejestracja: 20 lip 2009, o 16:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1 raz
Dowód, suma z dwumianem Newtona
Ostatnio zmieniony 26 sie 2010, o 11:35 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
-
miodzio1988
Dowód, suma z dwumianem Newtona
Najpierw sobie rozpisz i skróć co możesz , a później będziesz zwijać do takiej postaci , żebyś umiała policzyć taką sumę.
-
withdrawn
- Użytkownik
- Posty: 282
- Rejestracja: 20 lip 2009, o 16:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1 raz
Dowód, suma z dwumianem Newtona
hm hm hm ... rozpisać i skrócić co moge...
ja bym moze jakoś tak kombinowała,że..
\(\displaystyle{ n(n-1) \sum_{k=2}^{n} \frac{k(k-1)}{n(n-1} {n\choose k} = ...}\)
hmm oj oj ale chyba z tym nie ruszę by otrzymac teraz prawą strone rownosci
ja bym moze jakoś tak kombinowała,że..
\(\displaystyle{ n(n-1) \sum_{k=2}^{n} \frac{k(k-1)}{n(n-1} {n\choose k} = ...}\)
hmm oj oj ale chyba z tym nie ruszę by otrzymac teraz prawą strone rownosci
-
miodzio1988
Dowód, suma z dwumianem Newtona
Może lepiej z tej rady skorzystaj. Bo widzę, że skracanie i zwijanie Ci kiepsko idzieCrizz pisze:Jeśli nic nie zobaczysz przy tym "zwijaniu", to wydaje mi się, że ten przykład powinien ładnie pójść indukcją.
Dowód, suma z dwumianem Newtona
\(\displaystyle{ {n\choose k }k(k-1)}\) to ilość wyborów k osobowego prezydium z przewodniczącym i wiceprzewodniczącym spośród n osób. Wybierając najpierw przewodniczącego i wiceprzewodniczącego, a później pozostałe osoby do prezydium mamy \(\displaystyle{ n(n-1) {n-2 \choose k-2}}\).
Zatem \(\displaystyle{ {n\choose k }k(k-1)=n(n-1) {n-2 \choose k-2}}\).
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k(k-1){n\choose k } = \sum_{k=1}^{n} n(n-1) {n-2 \choose k-2}=n(n-1) \sum_{k=1}^{n} {n-2 \choose k-2}=n(n-1)2^{n-2}}\)
Zatem \(\displaystyle{ {n\choose k }k(k-1)=n(n-1) {n-2 \choose k-2}}\).
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k(k-1){n\choose k } = \sum_{k=1}^{n} n(n-1) {n-2 \choose k-2}=n(n-1) \sum_{k=1}^{n} {n-2 \choose k-2}=n(n-1)2^{n-2}}\)
-
withdrawn
- Użytkownik
- Posty: 282
- Rejestracja: 20 lip 2009, o 16:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1 raz
Dowód, suma z dwumianem Newtona
OOO, bardzo sensowne rozwiazanie. bardzo,bardzo pomocne.
mam jednak jeszcze jedno pytanie:
skad wiadomo,że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n-2\choose k-2} = 2^{n-2}}\)
korzystasz tutaj z.... \(\displaystyle{ (a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} a^{n-k} b^{k}}\) ? bo nie widze ;p
mam jednak jeszcze jedno pytanie:
skad wiadomo,że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n-2\choose k-2} = 2^{n-2}}\)
korzystasz tutaj z.... \(\displaystyle{ (a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} a^{n-k} b^{k}}\) ? bo nie widze ;p
Dowód, suma z dwumianem Newtona
Wiadomo stąd, że podzbiór n-elementowy ma \(\displaystyle{ 2^{n}}\) podzbiorów, czyli podzbiór (n-2)-elementowy ma \(\displaystyle{ 2^{n-2}}\) podzbiorów. A ta suma to nic innego jak ilość podzbiorów zbioru (n-2)-elementowego (ilość podzbiorów 0-elementowych+ilość podzbiorów 1-elementowych+...=ilość wszystkich podzbiorów).
A co do tego \(\displaystyle{ (a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} a^{n-k} b^{k}}\) to można powiedzieć, że korzystam. Dla \(\displaystyle{ a,b=1}\) i zamiast n weź n-2. Ale szczerze mówiąc wpychanie tego wzoru na siłę jest bez sensu, nie myślałem o nim rozwiązując zadanie.
A co do tego \(\displaystyle{ (a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} a^{n-k} b^{k}}\) to można powiedzieć, że korzystam. Dla \(\displaystyle{ a,b=1}\) i zamiast n weź n-2. Ale szczerze mówiąc wpychanie tego wzoru na siłę jest bez sensu, nie myślałem o nim rozwiązując zadanie.