Witam, mam takie oto zadanie:
\(\displaystyle{ f_{n-1}^{2} \cdot f_{n} = f ^{3} _{n+1}}\)
Mam nadzieję, że zgadnięcie i dowód przez indukcję nie będzie jedynym możliwym rozwiązaniem ;]
Rekurencja z mnożeniem dwóch poprzednich wyrazów
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Rekurencja z mnożeniem dwóch poprzednich wyrazów
Jeśli któryś wyraz będzie zerowy, to wszystkie kolejne też; załóżmy zatem, że wyrazy tego ciągu są niezerowe i podzielmy podaną równość obustronnie przez \(\displaystyle{ f_{n}^{3}}\). Zauważmy przy okazji, że \(\displaystyle{ f_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ f_{n-1}}\) są tego samego znaku i spójrzmy na otrzymaną równość:
\(\displaystyle{ \left(\frac{f_{n-1}}{f_{n}}\right)^{2} = \left(\frac{f_{n+1}}{f_{n}}\right)^{3}}\).
Narzuca się podstawienie \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{f_{n+1}}{f_{n}}, \ a_{n} >0}\). Dostajemy teraz taką zależność:
\(\displaystyle{ a_{n-1}^{-\frac{2}{3}} = a_{n}}\),
co po obustronnym zlogarytmowaniu daje:
\(\displaystyle{ -\frac{2}{3}ln(a_{n-1}) = ln(a_{n})}\)
Wobec tego ciąg \(\displaystyle{ (ln(a_{n}))}\) jest geometryczny; otrzymujemy łatwo postać ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\). Stąd już prosta droga do wzoru na \(\displaystyle{ f_{n}}\).
W zasadzie można od razu zlogarytmować i wtedy dostaniemy liniową rekurencję na wyrazu ciągu \(\displaystyle{ (ln(f_{n}))}\).
\(\displaystyle{ \left(\frac{f_{n-1}}{f_{n}}\right)^{2} = \left(\frac{f_{n+1}}{f_{n}}\right)^{3}}\).
Narzuca się podstawienie \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{f_{n+1}}{f_{n}}, \ a_{n} >0}\). Dostajemy teraz taką zależność:
\(\displaystyle{ a_{n-1}^{-\frac{2}{3}} = a_{n}}\),
co po obustronnym zlogarytmowaniu daje:
\(\displaystyle{ -\frac{2}{3}ln(a_{n-1}) = ln(a_{n})}\)
Wobec tego ciąg \(\displaystyle{ (ln(a_{n}))}\) jest geometryczny; otrzymujemy łatwo postać ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\). Stąd już prosta droga do wzoru na \(\displaystyle{ f_{n}}\).
W zasadzie można od razu zlogarytmować i wtedy dostaniemy liniową rekurencję na wyrazu ciągu \(\displaystyle{ (ln(f_{n}))}\).
-
Konikov
- Użytkownik
- Posty: 497
- Rejestracja: 13 mar 2008, o 18:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z całki tego świata
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 44 razy
Rekurencja z mnożeniem dwóch poprzednich wyrazów
Przepraszam, zapomniałem:
\(\displaystyle{ f _{0} = 1}\)
\(\displaystyle{ f _{1} = 2}\)
I dzięki, właśnie próbuję to ogarnąć ;]
-- 26 lipca 2010, 16:25 --
Jadę tak:
\(\displaystyle{ a_{n} = a _{0} ^{(- \frac{2}{3}) ^{n} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{f _{n+1} }{f _{n} }= 2 ^{(- \frac{2}{3}) ^{n-1} }}\)
\(\displaystyle{ f _{n} = \prod_{k=0}^{n-1} 2 ^{(- \frac{2}{3}) ^{k} } =
2 ^{ \sum_{k=0}^{n-1} (- \frac{2}{3}) ^{k}}}\)
Tutaj jeszcze po podstawieniu wyniki się zgadzają. Ale jak to rozwalić dalej?-- 26 lipca 2010, 16:49 --Dobra, poszło z zaburzania, jeszcze raz dzięki ;]
\(\displaystyle{ f _{0} = 1}\)
\(\displaystyle{ f _{1} = 2}\)
I dzięki, właśnie próbuję to ogarnąć ;]
-- 26 lipca 2010, 16:25 --
Jadę tak:
\(\displaystyle{ a_{n} = a _{0} ^{(- \frac{2}{3}) ^{n} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{f _{n+1} }{f _{n} }= 2 ^{(- \frac{2}{3}) ^{n-1} }}\)
\(\displaystyle{ f _{n} = \prod_{k=0}^{n-1} 2 ^{(- \frac{2}{3}) ^{k} } =
2 ^{ \sum_{k=0}^{n-1} (- \frac{2}{3}) ^{k}}}\)
Tutaj jeszcze po podstawieniu wyniki się zgadzają. Ale jak to rozwalić dalej?-- 26 lipca 2010, 16:49 --Dobra, poszło z zaburzania, jeszcze raz dzięki ;]