Dzielniki liczby a dzielniki kwadratu tej liczby

dziubo1 · Post autor: **dziubo1** » 26 cze 2010, o 23:23

Pewna liczba ma \(\displaystyle{ 20}\) dzielników. Ile najwyżej dzielników może mieć kwadrat tej liczby?

Zupełnie nie wiem jak się wziąć za to zadanie Nie wiem też z czego miałbym tu skorzystać, proszę o pomoc i wytłumaczenie zagadnienia.

abc666 · Post autor: **abc666** » 26 cze 2010, o 23:42

\(\displaystyle{ 20=2\cdot 2\cdot 5}\)

Więc możliwe rozkłady są takie
\(\displaystyle{ a^{19}\\
a^3\cdot b^4\\
a^1\cdot b^9\\
a^1\cdot b^1\cdot c^4}\)

Po podniesieniu do kwadratu liczba dzielników będzie odpowiednio równa
\(\displaystyle{ 39, 63, 57, 81}\)

dziubo1 · Post autor: **dziubo1** » 26 cze 2010, o 23:52

Dziękuję za pomoc, jednak nie rozumiem do końca tych rozkładów. Co one mają wspólnego z rozkładem \(\displaystyle{ 2*2*5}\) A odpowiedzią do zadania jest \(\displaystyle{ 81}\) a nie \(\displaystyle{ 4}\)?

P.S.
Słówkiem, mogę prosić jaśniej?

Xitami · Post autor: **Xitami** » 27 cze 2010, o 06:52

rokład \(\displaystyle{ n}\) na czynniki pierwsze \(\displaystyle{ n=\prod_{i=1}^{r} p_i^{a_i}}\)
liczba dzielników liczby \(\displaystyle{ n}\) to \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{r}(a_i+1)}\)