Funkcja sufit i podłoga tożsamość!

[marffy]

Udowodnić, że dla n należącego do zbioru liczb całkowitych i m należącego do liczb naturalnych dodatnich prawdziwa jest tożsamość:
\(\displaystyle{ n= \sum_{k=0}^{m-1} \left\lceil \frac{n-k}{m} \right\rceil}\)

[sympatia17]

podbijam.

[norwimaj]

Tw. o dzieleniu z resztą: \(\displaystyle{ n=qm+r}\) dla pewnych \(\displaystyle{ q\in\mathbb{Z}}\), \(\displaystyle{ r\in\{0,1,\ldots,m-1\}}\).

[sympatia17]

to jak w takim razie wygląda teza w drugim kroku indukcyjnym??

[norwimaj]

Jakim kroku indukcyjnym? Chyba z twierdzenia o dzieleniu z resztą możesz skorzystać bez dowodu?

[Paylinka07]

A mógłbyś mi powiedzieć jak zastosować to twierdzenie?

[norwimaj]

Łatwiej będzie jak napiszę.

\(\displaystyle{ n= \sum_{k=0}^{m-1} \left\lceil \frac{n-k}{m} \right\rceil =
\sum_{k=0}^{m-1} \left\lceil \frac{qm+r-k}{m} \right\rceil=\ldots}\)

[alekksis]

Licząc to dalej otrzymamy suma od k=0 do m-1 z (q+ funkcja sufit z r-k/m) . I co dalej? Jak mam z tego wywnioskować , że to się równa n ?
Proszę o pomoc.

[norwimaj]

Jakie wartości może przyjmować wyrażenie \(\displaystyle{ \left\lceil q+\frac{r-k}{m} \right\rceil}\)?

[alekksis]

Całkowite .

[norwimaj]

Niewątpliwie będzie to liczba całkowita, ale jaka konkretnie? Są tylko dwie możliwości.

[alekksis]

q lub większa od q, czyli n ?

[norwimaj]

Z jakiego przedziału wartości przyjmuje wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{r-k}m}\)?

[alekksis]

od 0 do 1 ?. Jeśli jest mniejsze od 0,5 to mamy q a jeśli większe od 0,5 mamy q+1?