zadanie ze zdarzenieniami niezaleznymi

[antek11]

Witam, mam problem z nastepujacym zadaniem:

Z pojemnika, w którym znajduję się n kul białych i k kul czarnych losujemy dwie kule. Wyznacz n i k tak, aby zdarzenia A i B byly niezależne, gdy:
A - otrzymamy conajmniej jedną kulę białą,
B - otrzymamy conajmniej jedną kulę czarną


prosze o pomoc,

z gory dzieki

Antek

[Sir George]

Zauważ, że \(\displaystyle{ A\cup B\,=\,\Omega}\), co daje
\(\displaystyle{ 1\ =\ P(A\cup B)\ =\ P(A)\,+\,P(B)\,-\,P(A\cap B)}\)
Przy założeniu niezależności zdarzeń A i B mamy \(\displaystyle{ P(A\cap B)\ =\ P(A)\cdot P(B)}\)
Otrzymujemy zatem
\(\displaystyle{ 0\ =\ 1\,+\, P(A\cap B)\,-\, P(A)\, - \,P(B)\ =\ \big(1-P(A)\big)\,\big(1-P(B)\big)}\)
Zatem \(\displaystyle{ P(A)\, =\,1}\) lub \(\displaystyle{ P(B)\,=\,1}\), czyli k=0,1 lub n=0,1.

A przy założeniu, że n=0,1 lub k=0,1 jedno ze zdarzeń A lub B jest zdarzeniem pewnym, co daje \(\displaystyle{ P(A\cap B)\,=\,P(A)\cdot P(B)}\)



PS: można też zrobić zadanie inaczej:
Z warunków zadania mamy, że zdarzenia przeciwne to A' - obie kule są czarne, oraz B' - obie kule są białe. Widać, że \(\displaystyle{ A'\cap B'\,=\,\emptyset}\).
Niezależność A i B jest równoważna niezależności A' i B', co daje już, że jedno ze zdarzeń przeciwnych musi mieć pstwo równe 0...

[antek11]

dzieki bardzo, tylko mi bardzeij chodzi o rozwiazanie z rozpisaniemm tzn:

Ω=(n+k) nad 2 = (n+k)1/2*(n+k-1)! = (n+k-1)(n+k)/2

A=(n nad 1)(k nad 1) + (n nad 2) = (2n+2k+n(n-1))/2
B=(k nad 1)(n nad 1) + (k nad 2) = (2k+2n+k(k-1))/2

A iloczyn B = (n nad 1)(k nad 1) = n+k


i dalej nie umiem tego rozwiazac.

Prosze o pomoc

[Sir George]

i dalej nie umiem tego rozwiazac.

Ale w czym problem? Masz przecież r-nie \(\displaystyle{ P(A\cap B)\,=\,P(A)\cdot P(B)}\)...

[antek11]

mam problme z rozwiazaniem powstalego rownania

[Sir George]

mam problem z rozwiazaniem powstalego rownania

Chodzi Ci oczywiście o równanie:
\(\displaystyle{ |\Omega|\cdot|A\cap B|\ =\ |A|\cdot|B|}\) ...?
Źle policzyłeś liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniom A i B:
\(\displaystyle{ |A|\ =\ nk+\frac12n(n-1)\ \qquad\ \&\ \qquad\ |B|\ =\ nk+\frac12k(k-1)\ \qquad\ \&\ \qquad\ |A\cap B|\ =\ nk}\)

Jak teraz podstawisz wyliczone wartości, dostajesz
\(\displaystyle{ \frac12\cdot nk\cdot(n+k)(n+k-1)\ =\ \frac14\cdot(2nk+n(n-1))\cdot(2nk+k(k-1))}\)
Przenosząc wszystko na jedną stronę otrzymujesz
\(\displaystyle{ 0\ =\ 2\cdot nk\cdot(n+k)(n+k-1)\,-\,(2nk+n(n-1))\cdot(2nk+k(k-1))\ =\ -nk(n-1)(k-1)}\)