Macierz kontroli parzystości kodu dualnego

[Karaal]

Zadanie brzmi:

Wiadomo że macierz

\(\displaystyle{ G=\begin{bmatrix} 1&3&1&0&0&0\\0&2&2&3&1&0\\0&2&0&1&0&1\end{bmatrix}}\)

nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5}}\) jest macierzą generującą kodu pewnego kodu liniowego. Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu dualnego.

Proszę o wskazówki jak się do tego zabrać, w miarę możliwości omówić algorytm postępowania, zupełnie nie wiem, jak się do tego zadania zabrać.

[johanneskate]

Podbiję zadanie.

[Bugmenot]

• Jeżeli macierz generująca jest w postaci normalnej \(\displaystyle{ G = [I_k, P]}\),
  to macierz kontroli parzystości \(\displaystyle{ H = [-P^T, I_{n-k}]}\).

• sprowadzenie do postaci normalnej przez zmianę kolejności kolumn:
  
  • \(\displaystyle{ G = \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0\\
    0 & 2 & 2 & 3 & 1 & 0\\
    0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1
    \end{bmatrix} \xrightarrow[5,6]{2,3}
    %
    G' = \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1\\
    0 & 1 & 0 & 3 & 2 & 2\\
    0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 0
    \end{bmatrix}}\)
  użycie wzoru do obliczenia macierzy parzystości w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5}}\) i powrót do starego ułożenia kolumn:
  
  • \(\displaystyle{ H' = \begin{bmatrix}
    0 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0\\
    2 & 3 & 3 & 0 & 1 & 0\\
    4 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1
    \end{bmatrix} \xrightarrow[2,3]{5,6}
    %
    H = \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4\\
    2 & 1 & 0 & 0 & 3 & 3\\
    4 & 0 & 1 & 0 & 3 & 0
    \end{bmatrix}}\)