\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } {n \choose k} \cdot x^{n}}\)
Mógłbym poprosić o napisanie w jaki sposób można policzyć tę sumę?
Policz sumę
-
- Użytkownik
- Posty: 153
- Rejestracja: 17 sty 2010, o 15:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wroclaw
- Pomógł: 13 razy
Policz sumę
\(\displaystyle{ \sum a(n)\cdot b = b \cdot \sum a(n)}\) - po prostu wyciagamy czynnik przed nawias.
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} = 2^n}\) - jak nie wiesz skad to sie bierze, to rozwin sobie \(\displaystyle{ 2^n}\) dwumianem Newtona jako \(\displaystyle{ (1 + 1)^n}\)
Te wzory moga Ci sie przydac. Teraz jest jeszcze pytanie: czy k jest parametrem, czy zle cos przepisales?
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} = 2^n}\) - jak nie wiesz skad to sie bierze, to rozwin sobie \(\displaystyle{ 2^n}\) dwumianem Newtona jako \(\displaystyle{ (1 + 1)^n}\)
Te wzory moga Ci sie przydac. Teraz jest jeszcze pytanie: czy k jest parametrem, czy zle cos przepisales?
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 4 mar 2010, o 21:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 1 raz
Policz sumę
No właśnie w zadaniu stoi jak byk że sumujemy po n-ach, nie po k Jeśli dobrze liczę to promień zbieżności jest równy 1, ale mimo to nie wiem jak się za tę sumę zabrać
-
- Użytkownik
- Posty: 2000
- Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 202 razy
Policz sumę
ro jest równe \(\displaystyle{ \frac{z^k}{(1-z)^{k+1}}}\)
to dość ważna tożsamość często pojawiająca się przy funkcjach tworzących
jest ona równoważna tożsamości \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-z)^{n+1}}= \sum_{k \ge 0}^{} {n + k \choose n}z^k}\) która wynika ze wzoru dwumianowego:
\(\displaystyle{ (1+z)^r=\sum_{k}^{} {r \choose k}z^k}\) gdzie \(\displaystyle{ |z| <1}\)
dla \(\displaystyle{ r=-n-1}\)
to dość ważna tożsamość często pojawiająca się przy funkcjach tworzących
jest ona równoważna tożsamości \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-z)^{n+1}}= \sum_{k \ge 0}^{} {n + k \choose n}z^k}\) która wynika ze wzoru dwumianowego:
\(\displaystyle{ (1+z)^r=\sum_{k}^{} {r \choose k}z^k}\) gdzie \(\displaystyle{ |z| <1}\)
dla \(\displaystyle{ r=-n-1}\)