Policz sumę

[foonesh]

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } {n \choose k} \cdot x^{n}}\)

Mógłbym poprosić o napisanie w jaki sposób można policzyć tę sumę?

[filip.wroc]

\(\displaystyle{ \sum a(n)\cdot b = b \cdot \sum a(n)}\) - po prostu wyciagamy czynnik przed nawias.
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} = 2^n}\) - jak nie wiesz skad to sie bierze, to rozwin sobie \(\displaystyle{ 2^n}\) dwumianem Newtona jako \(\displaystyle{ (1 + 1)^n}\)

Te wzory moga Ci sie przydac. Teraz jest jeszcze pytanie: czy k jest parametrem, czy zle cos przepisales?

[foonesh]

No właśnie w zadaniu stoi jak byk że sumujemy po n-ach, nie po k Jeśli dobrze liczę to promień zbieżności jest równy 1, ale mimo to nie wiem jak się za tę sumę zabrać

[Dumel]

ro jest równe \(\displaystyle{ \frac{z^k}{(1-z)^{k+1}}}\)
to dość ważna tożsamość często pojawiająca się przy funkcjach tworzących

jest ona równoważna tożsamości \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-z)^{n+1}}= \sum_{k \ge 0}^{} {n + k \choose n}z^k}\) która wynika ze wzoru dwumianowego:
\(\displaystyle{ (1+z)^r=\sum_{k}^{} {r \choose k}z^k}\) gdzie \(\displaystyle{ |z| <1}\)
dla \(\displaystyle{ r=-n-1}\)