Wiem, że należy zapisać taki wielomian:Na ile sposobów można kupić 40l soku, jeśli mamy do dyspozycji 35 butelek 1l, 25 butelek 2l i12 butelek 4l
\(\displaystyle{ (1+x^{1}+x^{2}+...+x^{35})(1+x^{2}+x^{4}+...+x^{50})(1+x^{4}+x^{8}+...+x^{48})}\)
i sprawdzić współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{40}}\), ale.. jak go policzyć? Jak na zajęciach robiliśmy podobne zadania, to zawsze można było jakoś sobie pokombinować, i wyliczyć. Ale tutaj.. No ja widzę tyle możliwości ile jest podziałów liczby 40 na 3, 2 lub 1 składników, z założeniem że składniki muszą być podzielne kolejno przez 1,2 i 4..
A drugie zadanie:
Wpierw robiłem to wprost z tego wzoru, ale najpierw natrafiłem na \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } n^{2}x^{n}}\), a jak już się z tym uporałem (link) to doszedłem do takiego łamańca że nie wiedziałem co z nim zrobić.. Potem próbowałem stworzyć ciągZa pomocą funkcji tworzących znaleźć wzór jawny na ciąg:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0} = a_{1} = 3 \\ a_{n} = a_{n-1} + 2a_{n-2} - 4n^{2}+18n-13 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ b_{n+1} = a_{n+1}-a_{n}\ (*)}\) (skracało się to \(\displaystyle{ 4n^{2}}\)), później \(\displaystyle{ c_{n+1} = b_{n+1}-b_{n}}\) (skraca się 8n), ale już na \(\displaystyle{ b_{n}}\) źle wyniki mi wychodziły.. Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ b_{n+1} = a_{n} + 2a_{n-1}-4(n+1)^{2}+18(n+1)-13 - a_{n-1} - 2a_{n-2} + 4n^{2} - 18n + 13 = b_{n} + 2b_{n-1}-8n+14 \\
b_{n} = b_{n-1}+2b_{n-2} - 8n + 22\ (**)}\)
obliczyłem
\(\displaystyle{ b_{0} = 3\\
b_{1} = 0\\
b_{2} = 13\ (a_{2} = 16)}\)
ze wzoru (*), a potem to samo \(\displaystyle{ b_{2}}\) ze wzoru (**), a z niego wychodzi
\(\displaystyle{ b_{2} = 12}\)
Jakoś nie mogę tego rozgryźć :/.
