Suma zbiorów liniowo uporządkowanych

[k2mil]

Mając takie pary \(\displaystyle{ \left( C _{1}, \le _{1} \right) , \left( C _{2}, \le _{2} \right) , ... , \left( C _{n}, \le _{n} \right)}\)
w jaki sposób można określić liniowy porządek w \(\displaystyle{ C_{1} \cup C_{2} \cup ... \cup C_{n}}\)

Istnieje kilka możliwości zapewne, mając tyle relacji porządku, dla iloczynu kartezjańskiego byłoby lepiej ale dla sumy

[pipol]

Jeżeli \(\displaystyle{ \le_i}\) oznaczają liniowe porządki dla \(\displaystyle{ 1 \le i \le n}\). To liniowy porządek na sumie oznaczmy go \(\displaystyle{ S}\) można określić na przykład w sposób następujący
\(\displaystyle{ xSy \Leftrightarrow \left(\exists_{i,j} x\in C_i \wedge y\in C_j \wedge i<j\right) \vee \left(\exists_{k}x\in C_k \wedge y\in C_k \wedge x \le_k y\right)}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ xSy \Leftrightarrow \left(\exists_{i,j} x\in C_i \wedge y\in C_j \wedge i<j\right) \vee \left(\exists_{k}x\in C_k \wedge y\in C_k \wedge x \le_k y\right)}\)

Nie do końca - jeśli bowiem weźmiemy:
\(\displaystyle{ C_1=\{1,2\} \\ C_2 =\{1,2,3\}}\) (ze zwykłym porządkiem)
to Twój porządek nie będzie antysymetryczny, jest bowiem \(\displaystyle{ 2S1}\) (pierwszy warunek) oraz \(\displaystyle{ 1S2}\) (drugi warunek).

Ja bym raczej "poszatkował" całość na rozłączne podzbiory:
\(\displaystyle{ D_1=C_1 \\
D_2 = C_2 \backslash C_1 \\
D_3 = C_3 \backslash (C_1 \cup C_2) \\
\dots}\)
i dopiero teraz wprowadził porządek - ten w spadku po \(\displaystyle{ C_i}\) dla elementów w tym samym zbiorze \(\displaystyle{ D_i}\), oraz według indeksu \(\displaystyle{ i}\) dla elementów w różnych zbiorach \(\displaystyle{ D_i}\).

Q.

[pipol]

No racja nie pomyślałem o tym