Rownanie rekurencyjne - liczby zespolone.

[Albatross201]

Przejde do rzeczy: Rozwiązanie w książce nie pokrywa się z moim. Prosze o sprawdzenie i w razie czego napisanie co jest nie tak i podanie jakiś wskazówek.
\(\displaystyle{ a_{0}=1,a_{1}=1,a_{n}=-a_{n-1}-a_{n-2},n \ge 2}\)
1.
\(\displaystyle{ a_{n+2}=-a_{n+1}-a_{n}}\)
2.
\(\displaystyle{ r^{2}=-r-1}\)
\(\displaystyle{ r^{2}+r+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-3}\)
\(\displaystyle{ r_{1}= \frac{-1- \sqrt{3} i}{2}}\)
\(\displaystyle{ r_{2}= \frac{-1+ \sqrt{3}i }{2}}\)
3.
\(\displaystyle{ a_{n}=c_{1}r_{1}^{n}+c_{2}r_{2}^{n}}\)

\(\displaystyle{ 1=c_{1}( \frac{-1- \sqrt{3}i }{2} )^{0}+c_{2}( \frac{-1+ \sqrt{3}i }{2} )^{0}}\)
\(\displaystyle{ 1=c_{1}( \frac{-1- \sqrt{3}i }{2} )^{1}+c_{2}( \frac{-1+ \sqrt{3}i }{2} )^{1}}\)


\(\displaystyle{ c_{1}= \frac{-1- \sqrt{3}i }{2}}\)
\(\displaystyle{ c_{2}= \frac{3+ \sqrt{3}i }{2}}\)

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{-1- \sqrt{3} i}{2}( \frac{-1- \sqrt{3}i }{2} )^{n}+ \frac{3+ \sqrt{3}i }{2}( \frac{-1+ \sqrt{3}i }{2} )^{n}}\)

[miodzio1988]

Przejde do żeczy:

Chyba do rzeczy, nie?

Jakoś nie widzę póki co błędu. Wylicz sobie 5 pierwszych wyrazów i zobacz czy się zgadza. Wynik w książce może jest po prostu w innej postaci.

[tometomek91]

Mi wychodzi \(\displaystyle{ c_{1}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}}\).

[Albatross201]

Po pierwsze faktycznie straszny błąd ortograficzny a po drugie zapomnialem podać wyniku z książki, a więc:
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{3+ i\sqrt{3} }{6}(-i \sqrt{3} )^{n}- \frac{i \sqrt{3}-3 }{6}(i \sqrt{3} )^{n}}\)

-- 14 maja 2010, 17:38 --

tometomek91 nawet gdybym sie gdzies pomylil w +- to i tak znacznie rozni sie moj wynik od tego z ksiazki...

[miodzio1988]

Policz pierwszy i zerowy wyraz swoim wzorem i wzorem z ksiazki. Co widzisZ?

[Albatross201]

Hmm...brak różnicy wiec wychodzi na to ze mój wynik tez jest dobry, ale jak oni doszli do swojego to nie mam zielonego pojecia. Dobra to problem rozwiązany. Dzieki za pomoc.

[Xitami]

Jeszcze inny wynik
A tu jeszcze coś