siedmiokąt podzielony na sześciokąty

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
michal17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 12 sie 2009, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3 razy

siedmiokąt podzielony na sześciokąty

Post autor: michal17 »

Witam, mam nadzieję, że umieszczam to w odpowiednim dziale.
Mianowicie mam problem ze zrozumieniem rozwiązania takiego zadania:
Czy można siedmiokąt rozdzielić na sześciokąty wypukłe?
Niżej przedstawiam rozwiązanie ze zbioru:

Załóżmy, że dany siedmiokąt udało się rozdzielić na sześciokąty wypukłe. Oznaczmy liczbę tych wierzchołków sześciokątów, które leżą wewnątrz siedmiokąta przez m, liczbę pozostałych wierzchołków sześciokątów, tzn. leżących na brzegu siedmiokąta, przez k. Łukami w sieci będą te prostoliniowe odcinki boków wielokątów, które spełniają następujący warunek: odcinek musi łączyć dwa wierzchołki i nie przechodzić przez pozostałe wierzchołki. Oznaczmy przez n liczbę takich łuków i przez s liczbę obszarów, na które tymi łukami została podzielona płaszczyzna. Jest oczywiste, że liczba s jest większa o 1 od liczby sześciokątów. Tak samo oczywiste, że dowolne dwa wierzchołki są połączone łańcuchem łuków. Na mocy tw. Eulera otrzymujemy:
(1) \(\displaystyle{ (m + k)-n+s=2}\)
Jeżeli zewnętrzny obszar jest ograniczony k łukami, a każdy z pozostałych obszarów nie mniej niż sześcioma łukami, to:
(2) \(\displaystyle{ 6(s-1)+k \le 2n}\)
Z niektórych wierzchołków na brzegu siedmiokąta wychodzą tylko 2 łuki. Oznaczmy liczbę takich wierzchołków przez a. Z dowolnego innego wierzchołka wychodzą co najmniej 3 łuki. Stąd mamy
\(\displaystyle{ 3m+3(k-a)+2a \le 2n}\)
czyli
\(\displaystyle{ 3m+3k-a \le 2n}\)
Na mocy nierówności (1) otrzymujemy \(\displaystyle{ 3m+3k=6+3n-3s}\), stąd
\(\displaystyle{ 6+3n-3s-a \le 2n}\)
Zatem \(\displaystyle{ 2n \le 6s+2a-12}\) Tym samym korzystając z nierówności (2), mamy
\(\displaystyle{ 6s-6+k \le 6s+2a-12}\)
Stąd
(3) \(\displaystyle{ 2a-k \ge 6}\)

Jeżeli na brzegu siedmiokąta znajdziemy co najmniej 2 wierzchołki, z których wychodzą łuki prowadzące do wewnątrz siedmiokąta, to \(\displaystyle{ k-a \ge 2}\), czyli \(\displaystyle{ k \ge a+2}\), a na mocy nierówności (3) \(\displaystyle{ k \le 2a-6}\). Dlatego \(\displaystyle{ a+2 \le 2a-6}\), Stąd \(\displaystyle{ a \ge 8}\)
Z drugiej strony, jeżeli siedmiokąt jest podzielony na wypukłe wielokąty, to dowolne wierzchołki, z których wychodzą 2 łuki, są wierzchołkami siedmiokąta i dlatego \(\displaystyle{ a \le 7}\). Zatem siedmiokąta nie można podzielić na sześciokąty wypukłe.

No i teraz moje wątpliwości. Z nierówności (3) wynika, że \(\displaystyle{ a=7}\), bo w przeciwnym razie nierówność ta nie będzie spełniona dla siedmiokąta, a skoro tak, to dlaczego mamy zakładać, że znajdziemy co najmniej 2 wierzchołki, z których wychodzą łuki do wnętrza, jak wynika, że jest ich 0?
Z góry dzięki za pomoc
ODPOWIEDZ