Rozwiąż rekursję

[foonesh]

\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}+ \left( -1\right)^{n}}\)
Jak mniej więcej wygląda sposób rozwiązania takiej rekursji?

[pipol]

Podstaw \(\displaystyle{ a_n =b_n + (-1)^n}\)

[Zordon]

Rozwiązanie będzie postaci \(\displaystyle{ a_n=Ar_1^n+Br_2^n+C(-1)^n}\)
gdzie \(\displaystyle{ r_1, r_2}\) to pierwiastki równania \(\displaystyle{ r^2-r-1=0}\)
teraz trzeba wyliczyć \(\displaystyle{ A,B,C}\).

Albo można sprytniej tak jak wyżej.

[foonesh]

Rozwiązanie będzie postaci \(\displaystyle{ a_n=Ar_1^n+Br_2^n+C(-1)^n}\)

Mogę poprosić o wytłumaczenie w jaki sposób dojść do tego jakiej postaci będzie rozwiązanie?

[abc666]

Zordon, to jeszcze zależy od pierwiastków równania charakterystycznego (chodzi mi o postać rozwiązania).

foonesh, zerknij najpierw tutaj a potem tutaj

[foonesh]

Dziękuję bardzo, abc666. O ile rozumiem już sposób rozwiązywania rekurencji liniowych i tego konkretnego przypadku rekurencji nieliniowej(jeśli używam dobrej nazwy), to dalej tajemnicą pozostaje dla mnie ogólna metoda, tzn mam problem z terminologią zastosowaną w drugim linku który mi wysłałeś. Czy jest jakaś możliwość jeszcze raz wytłumaczyć kroki postępowania w przypadku równań rekurencyjnych? Może na takim przykładzie, bo nie mam pojęcia jak się za to zabrać: \(\displaystyle{ a_{0}=1, a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}+...+a_{0}}\)

[Zordon]

Ta sytuacja nie jest standardowa, trzeba najpierw zauważyć:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+(a_{n-1}+...+a_{0})=a_n+a_n=2a_n}\)
teraz już nietrudno odgadnąć \(\displaystyle{ a_n=2^n}\)

[abc666]

Obie rekurencje są liniowe z tym że pierwsza jednorodna a druga niejednorodna.

Jest wiele różnych typów równań rekurencyjnych liniowych i nie ma jednego sposobu na wszystkie. Czasem można nawet zgadnąć wzór (wystarczy go potem udowodnić indukcyjnie). Często można zastosować jakieś podstawienie. Jest też sporo innych bardziej wyspecjalizowanych metod do konkretnych zastosowań. Ale to już do literatury trzeba by zajrzeć. Można też zawsze zastosować rachunek różnicowy (nie różniczkowy). Jak widzisz jest tego cała masa.

[foonesh]

A czy ten tok rozumowania jest dobry?
Chcę rozwiązać rekurencję: \(\displaystyle{ a_{n+1}=2 a_{n}+(-1)^n}\)
podstawiam \(\displaystyle{ a_{n}=b_{n}-(-1)^n, a_{n+1}=b_{n+1}-(-1)^n}\)
dostaję \(\displaystyle{ b_{n+1}=2b_{n}}\)
\(\displaystyle{ b_{n}=2^{n}b_{0}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=2^{n}b_{0}-(-1)^n=2^{n}(a_{0}-(-1)^n)-(-1)^n}\)

Ten wynik nie generuje mi takiego ciągu jak powinien, więc chyba gdzieś mam błąd, czy ktoś mógłby mi powiedzieć gdzie? Albo że całe rozwiązanie jest złe

[abc666]

\(\displaystyle{ a_{n}=2^{n}b_{0}{\color{red}-}(-1)^n}\)
Tutaj powinien być plus.