Zależność rekurencyjna wyznacznika

[heux]

Witam. Mam takie zadanie: Dla poniższego wyznacznika znajdź zależność rekurencyjną i oblicz jego wartość, rozwiązując odpowiednie równanie rekurencyjne.

\(\displaystyle{ D_{n}= \left|\begin{array}{ccccccccc}2&1&0&0&0&...&0&0&0\\1&2&1&0&0&...&0&0&0\\0&1&2&1&0&...&0&0&0\\0&0&1&2&1&...&0&0&0\\..&..&..&..&..&...&..&..&..\\0&0&0&0&0&...&1&2&1\\0&0&0&0&0&...&0&1&2\end{array} \right|}\)

Rozpisując wyznacznik wychodzi mi równanie rekurencyjne \(\displaystyle{ D_{n}=2D_{n-1}-2D{n-2}}\), co daje mi równanie szczególne z \(\displaystyle{ \Delta<0}\), czyli wedle moich wiadomości - z rozwiązaniem w liczbach zespolonych. Mógłby mi ktoś pomóc? Jeśli faktycznie otrzymujecie takie rozwiązanie rekurencyjne, to czy rozwiązanie: \(\displaystyle{ x^{2}-2x+2=0 \Rightarrow (x-1)^{2}+1=0 \Rightarrow x=1+i \vee x=-1+i}\) jest poprawne i wynik będzie \(\displaystyle{ D_{n}=A(1+i)^{n}+B(-1+i)^{n}}\) i tylko wyliczyć A i B?

[Qń]

\(\displaystyle{ (x-1)^{2}+1=0 \Rightarrow x=1+i \vee x=-1+i}\)

\(\displaystyle{ x=1+i}\) lub \(\displaystyle{ x=1-i}\).
Reszta rozumowania jest poprawna.

Q.