Ile jest funkcji f: {1,2,...10} --> {1, 2,..., 15}

mmsmm · Post autor: **mmsmm** » 22 kwie 2010, o 14:12

Witam!
Potrzebuję pomocy przy rozwiązaniu zadania o treści:
Ile jest funkcji f: {1,2,...10} --> {1, 2,..., 15} które są:

a) rosnące

b) niemalejące

Bardzo proszę o pomysły jak to rozwiązać

pelas_91 · Post autor: **pelas_91** » 22 kwie 2010, o 14:21

Ad. a) Wyobraź sobie że rysujesz tabelkę z argumentami i chcesz do niej powciskać wartości funkcji.
10 argumentom musimy przyporządkować 10 wartości w sposób rosnący (czyli nie mogą się wartości powtarzać)

Na ile sposobów da się wybrać 10 różnych wartości funkcji spośród 15 możliwych w zadaniu?
Na ile sposobów da się je ustawić w rosnący sposób?

mmsmm · Post autor: **mmsmm** » 22 kwie 2010, o 14:29

Ok czyli możliwości wszystkich jest \(\displaystyle{ 10 ^{15}}\)?
Ale ile jest z pośród tych rosnących...? :/

pelas_91 · Post autor: **pelas_91** » 22 kwie 2010, o 14:31

Wybierasz 10 liczb spośród 15 bez powtórzeń czyli \(\displaystyle{ {15 \choose 10}}\).

Co do drugiego pytania: Wyobraź sobie 10 przedszkolaków [o różnym wzroście]. Na ile sposobów mogą się ustawić rosnąco?

mmsmm · Post autor: **mmsmm** » 22 kwie 2010, o 14:37

No ok, jak mam 10 przedszkolaków o różnym wzroście to moge ich ustawić tylko na jeden sposób rosnąco. Ale jeśli mam już 11 przedszkolaków z czego 10 chciałbym ustawić rosnąco to mam już 11 takich kombinacji. Przy 15 przedszkolakach... czy jest to \(\displaystyle{ {14 \choose 9}}\) ? Nie, coś mi tu niegra. :/

pelas_91 · Post autor: **pelas_91** » 22 kwie 2010, o 14:42

mmsmm pisze:No ok, jak mam 10 przedszkolaków o różnym wzroście to moge ich ustawić tylko na jeden sposób rosnąco. Ale jeśli mam już 11 przedszkolaków z czego 10 chciałbym ustawić rosnąco to mam już 10 takich kombinacji. Przy 15 przedszkolakach... czy jest to \(\displaystyle{ {14 \choose 9}}\) ? Nie, coś mi tu niegra. :/

Nie dokońca rozumiem Twoje pytanie .
Jak masz 11 przedszkolaków i 10 ma być rosnąco, to jedenaste dziecko możesz wstawić na przód lub koniec. Inaczej zepsujesz rośnięcie tej dziesiątki.

mmsmm · Post autor: **mmsmm** » 22 kwie 2010, o 14:46

No chyba nie do końca bo 11 dziecko które przyjmijmy że jest najwyższe musze wstawić na koniec ale z pośród reszty dzieci mogę zabrać każde inne i ciąg dalej będzie rosnący.

pelas_91 · Post autor: **pelas_91** » 22 kwie 2010, o 14:58

Wcześniej nie było założenia że jedenaste dzieckoo jest najwyższe

I nie wiem po co Ci te rozważania, mają się nijak do zadania.

W kombinatoryce zawsze sie znajdzie kilka modeli, chodzi o znalezienie takiego który uwazględnie wszystko, ani więcej ani mniej.

Zauważ że w moim modelu przy wybieraniu 10 różnych wartości funkcji (spośród 15) ja się jeszcze nie zastanawiam nad ich rozłożeniem. Po prostu wybieram 10, bo tyle potrzebuje.
Dopiero po chwili zastanawiam się jak je rozstawić [już te 10 które mam]. Gdyby to miała być dowolna funkcja do byłoby 10! możliwości [wszystkie permutacje] ale nam chodzi o funkcję rosnącą - konkretną i JEDNĄ. [bo na 1 sposób mogę ustawić 10 różnych liczb w szyku rosnącym]

mmsmm · Post autor: **mmsmm** » 22 kwie 2010, o 15:02

Po prostu staram się wymyślić ile może być rosnących kombinacji ale puki co nic rozsądnego mi do głowy nie przychodzi.

pelas_91 · Post autor: **pelas_91** » 22 kwie 2010, o 15:04

Więc przenieś to na życie. Jak krzykniesz tym 10 przedszkolakom że mają stać rosnąco to mogą to zrobić tylko na jeden poprawny sposób.

mmsmm · Post autor: **mmsmm** » 22 kwie 2010, o 15:08

Czyli chyba źle zrozumiałem zadanie bo mi wydawało się, że w zadaniu pytają ile jest kombinacji rosnących 10 z 15 elementów (przedszkolaków)?

pelas_91 · Post autor: **pelas_91** » 22 kwie 2010, o 15:10

My sie bawimy w funkcje. Jak mamy 10 argumentów to potrzebujemy 10 wartości, nie więcej, inaczej to nie będzie funkcja.

mmsmm · Post autor: **mmsmm** » 22 kwie 2010, o 15:16

No dobrze, potrzebujemy 10 wartości dla 10 argumantów ale te wartości losujemy z pośród 15 więc to chyba powinno mieć znaczenie? Skoro tak jak mówisz jest w przykładzie a) to jak byś się ustosunkował do przykładu b)?

pelas_91 · Post autor: **pelas_91** » 22 kwie 2010, o 15:23

I ma: spójrz jeszcze raz na mój model:
Losuję 10 z 15 ------> następnie ustawiam w rosnącej kolejności

Czy jakąś ewentualność pominąłem?

mmsmm · Post autor: **mmsmm** » 22 kwie 2010, o 15:25

A tu nie chodzi przypadkiem o to na ile sposobów moge wylosować 10 z 15 żeby były w kolejności rosnącej?-- 22 kwi 2010, o 14:29 --np ze zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 ,14, 15 mogę wylosować tak żeby było rosnąco:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
......
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
.....
1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

i już tutaj widać że takich wyników może być więcej jak 1 więc ja się pytam ile może być takich wyników bo chyba właśnie o to chodzi w tym zadaniu?

Chyba, że się mylę to wyrażam szczerą skruchę, że się tak upieram przy swoim.