Funkcją tworząca ciągu

[paluch102]

Witam
Mam problem z zadaniem.
Zad:
Dane są początkowe wyrazy ciągu nieskończonego:
\(\displaystyle{ a_0=1, a_1=15, a_2=150, a_3=1250, a_4=9375, a_5=65625, a_6=437500}\)
Znajdź wzór na \(\displaystyle{ a_n}\), za pomocą funkcji tworzącej.
Z góry dzięki za pomoc.

[Qń]

Dane są początkowe wyrazy ciągu nieskończonego:
a0=1, a1=15, a2=150, a3=1250, a4=9375, a5=65625, a6=437500.
Znajdź wzór na an

Ciągów rzeczywistych \(\displaystyle{ a_n}\) o takich wyrazach początkowych jest continuum, zadanie nie ma więc jednoznacznego rozwiązania.

Q.

[Xitami]

bardzo łatwo znaleźć jedno z rozwiązań

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-5x)^3}=\\ \\1
+ 15 x
+ 150 x^2
+ 1250 x^3
+ 9375 x^4
+ 65625 x^5
+ 437500 x^6
+ 2812500 x^7\dots}\)

[paluch102]

bardzo łatwo znaleźć jedno z rozwiązań

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-5x)^3}=\\ \\1
+ 15 x
+ 150 x^2
+ 1250 x^3
+ 9375 x^4
+ 65625 x^5
+ 437500 x^6
+ 2812500 x^7\dots}\)

Jak byś mógł rozpisać bardziej prosto, byłbym wdzięczny.

[Xitami]

\(\displaystyle{ a_n=5^{n-1}{n+1{}\choose{}2}\\
albo\\
a_0=0, a_1=1, a_2=15\\
dla\quad n>2\\
a_n=15a_{n-1}-75a_{n-2}+125a_{n-3}}\)

[paluch102]

Już wszystko wiem. Tylko ostatnia prośba, mógłbyś mi rozpisać dokładnie jak z:

\(\displaystyle{ \\ \\1
+ 15 x
+ 150 x^2
+ 1250 x^3
+ 9375 x^4
+ 65625 x^5
+ 437500 x^6
+ 2812500 x^7\dots}\)

wychodzi Ci:

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-5x)^3}}\)