Witam, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań z kolokwium z ubiegłego roku, wytłumaczenie sposobu rozumowania i ewentualnych schematów postępowania.
Z góry dziękuję za pomoc i cierpliwość.
1. Rozwiąż metodą cz. sumacyjnego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3T_0=5, \\ \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(k+1)T_k+1}{T_n}=n+1, n \geqslant 1 \end{cases}}\)
2. Rozwiąż metodą repertuaru:
\(\displaystyle{ \begin{cases} g_{1}=Spec_{5}(\frac{7}{6}), \\ g_{n+1}=g_{n} + 2n^{2} + 1,n \geqslant 1 \end{cases}}\)
3. Oblicz metodami różnicowymi:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}(k^{3}-2k^{2}+k(k-1)2^{k} + \frac{k^{2}-1}{(k+1)(k+2)(k+3)})}\)
4. Sprawdź prawdziwość kongruencji:
\(\displaystyle{ \left( \varphi (450)-J(129)\right) ^{16}\equiv \left( L_3P_2\cdot \frac{NWW \left( \langle 3,5,0,1,...\rangle ,\langle 1,2,1,2,...\rangle \right)}{\langle 2,4,...\rangle \cdot 3\cdot 7^2 }\right)^{\langle 4,...\rangle }\quad (mod\ 13)}\)
Sprawdź czy liczba 410310512612201301501427 jest podzielna przez 13, odpowiedź uzasadnij kongruencją.
5. Funkcja \(\displaystyle{ \zeta}\) Riemanna dana jest wzorem \(\displaystyle{ \zeta (x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}}}\), oblicz \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{\infty}\left( \zeta(k)-1 \right)}\).
Oblicz sumę: \(\displaystyle{ \sum_{1\le j<k\le n }\left(a_jb_k-a_kb_j \right)^2}\)