Symbol Newtona.

[the dark]

Mam takie polecenie:
Podaj wzór na symbol Newtona i w oparciu o ten wzór oblicz\(\displaystyle{ (x-2) ^{4}}\)

Wzór jest \(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}}\)

Czy w oparciu o ten wzór można to wyliczyć?
Bo ja mógłbym to wyliczyć w oparciu o Trójkąt Pascala\(\displaystyle{ (a-b) ^{4} = a ^{4} - 4a ^{3} b+ 6a ^{2} b ^{2} - 4ab ^{3} + b}\) no ale to nie o to chodzi w poleceniu...

W ogóle się w tym wszystkim pogubiłem. Jakby ktoś miał ochotę mi to wytłumaczyć byłbym wdzięczny.

[Morusek]

Chodzi o dwumianowy wzór Newtona czyli:

\(\displaystyle{ (x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1} x^{n-1}y + \binom{n}{2} x^{n-2}y^2 + \binom{n}{3}x^{n-3}y^3 + \dots + \binom{n}{n}y^n,}\)

Podstawiając n=4 mamy

\(\displaystyle{ (x - 2)^4 = \binom{4}{0}x^4 + \binom{4}{1} x^{4-1}(-2) + \binom{4}{2} x^{4-2}(-2)^2 + \binom{4}{3}x^{4-3}(-2)^3 + \binom{4}{4}(-2)^4,}\)

\(\displaystyle{ = x^4+4x^3 \cdot (-2)+6x^2 \cdot 4+4x \cdot (-8)+16=x^4-8x^3+24x^2-32x+16}\)

czyli to samo co korzystając z trójkąta Pascala.
btw powinno byc \(\displaystyle{ (a-b) ^{4} = a ^{4} - 4a ^{3} b+ 6a ^{2} b ^{2} - 4ab ^{3} + b^3}\), a nie

\(\displaystyle{ (a-b) ^{4} = a ^{4} - 4a ^{3} b+ 6a ^{2} b ^{2} - 4ab ^{3} + b}\)

pzdr

[the dark]

btw powinno byc \(\displaystyle{ (a-b) ^{4} = a ^{4} - 4a ^{3} b+ 6a ^{2} b ^{2} - 4ab ^{3} + b^3}\)

Tak naprawdę to na końcu powinno być \(\displaystyle{ b ^{4}}\)

Wielkie dzięki za pomoc. Teraz już wszystko jasne.