Witam, mam problem z kilkoma zadaniami i potrzebuję rozwiązania kilku z nich żeby wiedzieć jak rozwiązywać dalsze. Oto one
1. Uzasadnij, że
\(\displaystyle{ {n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 2}+...+{n\choose n}=2^n}\) dla każdego naturalnego n.
Następnie podobne do pierwszego, pewnie analogiczne:
2. Wykaż, że \(\displaystyle{ {20\choose 0}+{20\choose 2}+{20\choose 4}+...+{20\choose 18}+{20\choose 20}=2^{19}}\)
3. Ile różnych dzielników naturalnych ma iloczyn \(\displaystyle{ 2*3*5*7*11*13*17*19*23}\) ?
Newton + Ile dzielników ma liczba naturalna...
-
juzef
- Użytkownik
- Posty: 890
- Rejestracja: 29 cze 2005, o 22:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Pomógł: 66 razy
Newton + Ile dzielników ma liczba naturalna...
1. Podstaw \(\displaystyle{ a=1}\) i \(\displaystyle{ b=1}\) we wzorze \(\displaystyle{ (a+b)^n%20=%20%20{n\choose%200}a^n%20+%20{n\choose%201}a^{n-1}%20+{n\choose%202}a^{n-2}b^2%20+.....+%20{n\choose%20n-1}ab^{n-1}%20+{n\choose%20n}b^n}\). Drugie podobnie, ale trzeba się chwilkę zastanowić.
-
Calasilyar
- Użytkownik
- Posty: 2656
- Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 410 razy
Newton + Ile dzielników ma liczba naturalna...
3.
ma \(\displaystyle{ (1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=2^{9}}\) dzielników
ma \(\displaystyle{ (1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=2^{9}}\) dzielników
-
Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
Newton + Ile dzielników ma liczba naturalna...
W drugim weź pod uwagę fakt, iż:
\(\displaystyle{ {20\choose 0}={20\choose 20}}\) \(\displaystyle{ {20\choose 2}={20\choose 18}}\)
\(\displaystyle{ {20\choose 4}={20\choose 16}}\) itd
więc
\(\displaystyle{ {20\choose 0}+...+{20\choose 8}={20\choose 12}+...+{20\choose 20}}\)
\(\displaystyle{ {20\choose 0}={20\choose 20}}\) \(\displaystyle{ {20\choose 2}={20\choose 18}}\)
\(\displaystyle{ {20\choose 4}={20\choose 16}}\) itd
więc
\(\displaystyle{ {20\choose 0}+...+{20\choose 8}={20\choose 12}+...+{20\choose 20}}\)
-
alkamid
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 maja 2006, o 22:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wałcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 1 raz
Newton + Ile dzielników ma liczba naturalna...
juzef: dzięki za wyjaśnienie pierwszego
Co do zadania drugiego, rozwiązałem je nieco inaczej niż Lady Tilly (przy okazji, czy możesz rozwinąć swoje rozwiązanie? nie jest dla mnie zrozumiałe, a chciałbym poznać inną metodę dowiedzenia tego równania):
\(\displaystyle{ 2^{20}=(1+1)^{20}+(1-1)^{20}=2({20\choose 0}+{20\choose 2}+...+{20\choose 20}) |:2\\
2^{19}={20\choose 0}+{20\choose 2}+...+{20\choose 20}}\)
Rozwiązania Calasilyara też nie rozumiem, dla mnie jasne jest inne wytłumaczenie, z wykorzystaniem dwumianu Newtona czyli:
\(\displaystyle{ {9\choose 0}+{9\choose 1}+{9\choose 2}+...+{9\choose 9}=2^9}\).
Z tym, że pojawia się kolejny problem jeśli w zadaniu składniki się powtarzają, np.
\(\displaystyle{ (2*3*5*7)^2}\) - jaki jest sposób by obliczyć dzielniki tej liczby?
Co do zadania drugiego, rozwiązałem je nieco inaczej niż Lady Tilly (przy okazji, czy możesz rozwinąć swoje rozwiązanie? nie jest dla mnie zrozumiałe, a chciałbym poznać inną metodę dowiedzenia tego równania):
\(\displaystyle{ 2^{20}=(1+1)^{20}+(1-1)^{20}=2({20\choose 0}+{20\choose 2}+...+{20\choose 20}) |:2\\
2^{19}={20\choose 0}+{20\choose 2}+...+{20\choose 20}}\)
Rozwiązania Calasilyara też nie rozumiem, dla mnie jasne jest inne wytłumaczenie, z wykorzystaniem dwumianu Newtona czyli:
\(\displaystyle{ {9\choose 0}+{9\choose 1}+{9\choose 2}+...+{9\choose 9}=2^9}\).
Z tym, że pojawia się kolejny problem jeśli w zadaniu składniki się powtarzają, np.
\(\displaystyle{ (2*3*5*7)^2}\) - jaki jest sposób by obliczyć dzielniki tej liczby?
-
Calasilyar
- Użytkownik
- Posty: 2656
- Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 410 razy
