Ehh, nie wiem jak się za to zabrać. Pierwsze myślę, że coś z dwumianem newtona, ale nie mogę coś dopasować...
\(\displaystyle{ a)\ \ 2 \cdot 1{n \choose 1} + 3 \cdot 2 {n \choose 2} + ... + n(n-1) {n \choose n} = n(n-1)2^{n-2}}\)
\(\displaystyle{ b)\ \ {m \choose 0} {n \choose k} + {m \choose 1} {n \choose k-1} + {m \choose 2} {n \choose k-2} + ... + {m \choose k} {n \choose 0} = {m+n \choose k}}\)
Wie ktos moze?
Uzasadnij tożsamość (symbole newtona)
-
Majorkan
- Użytkownik
- Posty: 128
- Rejestracja: 14 paź 2007, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków/Jasło
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 33 razy
Uzasadnij tożsamość (symbole newtona)
W a) nie powinno przypadkiem być:
\(\displaystyle{ \ \ 2 \cdot 1{n \choose 2} + 3 \cdot 2 {n \choose 3} + ... + n(n-1) {n \choose n} = n(n-1)2^{n-2}}\) ?
Wtedy możemy zrobić tak: dzielimy obustronnie przez 2 i zapisujemy jako:
\(\displaystyle{ \ \ {2 \choose 2}{n \choose 2} + {3 \choose 2} {n \choose 3} + ... + {n \choose 2}{n \choose n} = {n \choose 2}2^{n-2}}\)
Następnie możemy przyjąć taką interpretację: chcemy z \(\displaystyle{ n}\)-elementowego zbioru wybrać podzbiór przynajmniej 2-elementowy, w którym dokładnie 2 elementy zostaną wyróżnione. Możemy się za to zabrać na dwa sposoby. W pierwszym (lewa strona równania) najpierw rozważamy podzbiory 2-elementowe (jest ich \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\)) - możemy w nich wyróżnić 2 elementy tylko na \(\displaystyle{ {2 \choose 2}=1}\) sposób. Następnie w podzbiorach 3-elementowych możemy wyróżnić 2 elementy na \(\displaystyle{ {3 \choose 2}}\) sposoby, itd. Z kolei druga metoda (prawa strona) polega na tym, że najpierw wybieramy 2 elementy spośród \(\displaystyle{ n}\), które wyróżniamy, a potem dobieramy do nich zupełnie dowolnie resztę podzbioru (na \(\displaystyle{ 2^{n-2}}\) sposobów).
Przykład b) można rozwiązać bardzo podobnie, przy czym jest on prostszy - wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ k}\)-elementowe podzbiory zbioru utworzonego z dwóch zbiorów: \(\displaystyle{ n}\)-elementowego i \(\displaystyle{ m}\)-elementowego.
\(\displaystyle{ \ \ 2 \cdot 1{n \choose 2} + 3 \cdot 2 {n \choose 3} + ... + n(n-1) {n \choose n} = n(n-1)2^{n-2}}\) ?
Wtedy możemy zrobić tak: dzielimy obustronnie przez 2 i zapisujemy jako:
\(\displaystyle{ \ \ {2 \choose 2}{n \choose 2} + {3 \choose 2} {n \choose 3} + ... + {n \choose 2}{n \choose n} = {n \choose 2}2^{n-2}}\)
Następnie możemy przyjąć taką interpretację: chcemy z \(\displaystyle{ n}\)-elementowego zbioru wybrać podzbiór przynajmniej 2-elementowy, w którym dokładnie 2 elementy zostaną wyróżnione. Możemy się za to zabrać na dwa sposoby. W pierwszym (lewa strona równania) najpierw rozważamy podzbiory 2-elementowe (jest ich \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\)) - możemy w nich wyróżnić 2 elementy tylko na \(\displaystyle{ {2 \choose 2}=1}\) sposób. Następnie w podzbiorach 3-elementowych możemy wyróżnić 2 elementy na \(\displaystyle{ {3 \choose 2}}\) sposoby, itd. Z kolei druga metoda (prawa strona) polega na tym, że najpierw wybieramy 2 elementy spośród \(\displaystyle{ n}\), które wyróżniamy, a potem dobieramy do nich zupełnie dowolnie resztę podzbioru (na \(\displaystyle{ 2^{n-2}}\) sposobów).
Przykład b) można rozwiązać bardzo podobnie, przy czym jest on prostszy - wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ k}\)-elementowe podzbiory zbioru utworzonego z dwóch zbiorów: \(\displaystyle{ n}\)-elementowego i \(\displaystyle{ m}\)-elementowego.
-
bzykubd
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 12 sty 2010, o 14:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
Uzasadnij tożsamość (symbole newtona)
Mamy prawo tak robić? Myślałem, że trzeba raczej dojsc z lewej do prawej, albo odwrotnie.
Co do przykładu, to na liście jest on taki, jak zapisałem.
Nadal nie wiem , jak to zrobic
Co do przykładu, to na liście jest on taki, jak zapisałem.
Nadal nie wiem , jak to zrobic